Верно: Педагоги заинтересованны, неравнодушны и упорны в достижении поставленных целей. Прилагательное в значении 'выражающий интерес к чему-либо' пишется с двумя буквами н.

Разницу в значениях можно узнать в нашем толково-словообразовательном словаре (окно «Искать на Грамоте»). Большинство словарей дают помету 'разговорное' к глаголу распрощаться.

Верно: Вам как профессиональным преподавателям требуется найти иной подход к обучению. Запятые не требуются, поскольку оборот с союзом как имеет значение 'в качестве'.

Слово вклад в значении 'значительное достижение' требует дополнения в форме винительного падежа (во что?). Корректный вариант: они внесли значительный вклад в дело обеспечения...

Слово подписант используется в разговорной речи в значении 'тот, кто подписал коллективное прошение, заявление, обращение'. В строгой официально-деловой речи использование этого слова будет неуместным.

В слове выстиранный безударная гласная проверяема. Хотя существует и похожий корень с чередующейся гласной, однако он имеет иное значение ('протягивать, распространять'): простирать — простереть.

1. Прилагательные существенный и принципиальный можно считать синонимичными в данном случае в значении 'важный'. 2. Ударение можно проверять в окне «Искать на Грамоте».

Глагол царить является многозначным. Примите во внимание то, в каком значении употреблено это слово: толковые словари русского языка отмечают в качестве устаревшего только значение 'царствовать'.

Полагаем, упомянутое правило здесь применимо и деепричастный оборот обособлять не нужно: глагол провести в значении 'пробыть, прожить какое-л. время где-л. или каким-л. образом' информативно недостаточен. 

В словах обиход, обихо́дить 'обеспечить уходом, заботой' выделяется (как указывает «Объяснительный русский орфографический словарь-справочник») «уникальная приставка оби». Написание нужно запомнить.