Выбор вариант зависит от реальной ситуации: 1. В связи с непрохождением Ивановым А. И. проверки знаний контролера; 2. В связи с непрохождением контролером Ивановым А. И. проверки знаний...
Порядковые номера монархов с одинаковыми именами принято обозначать римскими цифрами: Петр I, Екатерина II, Александр III. Римская цифра I обозначает, что Петр — первый царь с таким именем.
Верно: аудиооборудование. С двойной О ничего делать не нужно.
Корректно: ограничиваются перемещения работников, не связанные с выполнением обязанностей.
Это сочетание пишется с маленькой буквы: система страхования вкладов.
Написание зависит от смысла: кабачок тушёный с помидорами = тушёный кабачок плюс помидоры (помидоры не имеют отношения к процессу тушения); кабачок, тушенный с помидорами = кабачок, который тушили вместе с помидорами.
Обстоятельственные обороты «наряду с + существительное» могут факультативно выделяться знаками препинания.