В таком взятом без контекста предложении нет оснований для пропуска запятой перед деепричастным оборотом: Сделать это можно, нажав на кнопку. В контексте противопоставления, если деепричастный оборот составляет смысловой центр высказывания, запятую ставить не нужно, сравним: Сделать это можно нажав на кнопку, а можно — силой мысли. 

В данном случае предпочтительно двоеточие, поскольку в бессоюзом сложном предложении вторая часть поясняет первую, отвечая на вопрос что именно случилось?

Корректно: нейроарт, арт-наука, нейро-арт-галерея, кино-арт-театр.

См. ответ на вопрос № 306462.

Да, запятая поставлена корректно. Обороты с отглагольными предлогами типа несмотря на обычно обособляются (за исключением тех случаев, когда оборот входит в состав сказуемого или тесно связан с ним по смыслу, но тогда он, как правило, находится после сказуемого)

Не любую лексическую избыточность следует считать ошибкой. Такие сочетания, как подняться вверх, спуститься вниз, корректны, зафиксированы словарями русского языка, используются в художественной литературе.

Запятая не нужна, так как части сложносочиненного предложения представляют собой вопросительные предложения.

Верно со строчной и без кавычек: парламентская фронда.

Начальная форма на -а в текстах прошлого не редкость. В современной речи слова типа домишко также часто склоняются как существительные 1-го склонения: моего домишки, моему домишке, моим домишкой. Однако такое употребление считается разговорным. Строгая литературная норма устанавливает следующее разграничение: слова, образованные от неодушевленных существительных мужского рода при помощи суффикса -ишк-, оканчиваются на -о и изменяются по 2-му склонению (мой домишко, моего домишка, моему домишку, моим домишком), а слова, образованные при помощи того же суффикса от одушевленных существительных мужского рода, оканчиваются на -а и изменяются по 1-му склонению (мой зайчишка, моего зайчишки и т. д.).

Здесь требуется тире, которое используется для обособления распространенного инфинитивного определения, стоящего в конце предложения и относящегося к существительному, которое имеет при себе другое определение. См. § 60 в «Правилах русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.