Корректно: Могучий Дуб, Сидящий на Реке. В именах все слова, кроме служебных, следует писать с прописной буквы, дефисы ставить не следует, ср.: Петушок со Шпорами (герой сказок), Людвиг ван Бетховен, Леонардо да Винчи.

Часто эти морфемы взаимозаменяемы (как в случае со словами двусторонний и двухсторонний), но есть случаи, когда предпочтение отдается одному из вариантов (ср.: двувидовой, но не двухвидовой; двуединство; двухлетие). Такие слова проверяются по словарю.

Предлог благодаря употребляется со значением "вследствие" или "при помощи". Деепричастие соотносится по значению с глаголом благодарить. Кроме этого, различается грамматическая сочетаемость. Ср.: Сдал экзамен благодаря (чему) феноменальной памяти;  Зрители хлопали, благодаря (кого) артиста.

Это неофициальные названия, они пишутся со строчной буквы: парк Горького, сад имени Баумана. См. фиксацию в академическом «Русском орфографическом словаре» под ред. В. В. Лопатина и О. Е. Ивановой (М., 2023). 

Раздельное написание соответствует следующему правилу: пишутся раздельно наречные сочетания (два или более), в которых опорное существительное употребляется в разных предложно-падежных формах. Ср.: в ходу, на ходу, с ходу, по ходу. Подробнее см. здесь.

Слово вообще-то может выделяться запятыми как вводное. Однако при противопоставлении предложений или частей предложения запятые не ставятся, ср.: Я вообще-то не люблю купаться, но в такую жару хочется окунуться. См. в «Справочнике по пунктуации».

При обращении к нескольким лицам или неопределенному кругу лиц (например, при обращении к посетителям сайта) местоимения вы, ваш пишутся со строчной буквы. Обратите внимание, правильно: ...если оно имело место... (быть - избыточно), см. подробнее.

Приставка недо- со значением неполноты, недостаточности действия или признака, пишется слитно, напр.: недоговорить, недоедать, недоразвитый; но ср. сочетания частицы не и глагола с приставкой до-, напр.: не договорить, не доесть, не добежать, не докричаться.

Сочетание почетный знак пишется со строчной буквы: это родовое наименование. Ср. закрепленное в словаре Лопатина В. В., Нечаевой И. В. и Чельцовой Л. К. «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011) сочетание почетное звание. 

Предложение оформлено корректно. Поскольку перед повторяющимся звукоподражанием фу стоит двоеточие, его уместно писать со строчной буквы (см. параграф 5 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина).