Пишется со строчной буквы. Однако официально это не отделы, а управления (и каждое управление пишется с прописной). Структура есть на официальном сайте МВД РФ.
Употребление предлога "изо" вместо "из" перед определенными словами регламентируется словарями. Слово "Львов" в перечень таких слов не входит.
Допустимы оба варианта, более предпочтительным представляется такой вариант: они часто не проверяют состояние креплений. О выборе падежа существительного при отрицании см. «Письмовник».
Запятая после сломя голову не требуется.
Обособление не требуется.
Верно с двумя н: современнейший.
Следует использовать тире (с пробелами), поскольку цифры присоединяются к словосочетанию: День садовода - 2019.
Если дата относится к словосочетанию (как в Вашем примере), ставится тире с пробелами: "Учитель года — 2019".
Обособление оборота факультативно.
Здесь пишется частица ни.
