Предпочтительно: помаши ручкой. Форма помахай сейчас допускается некоторыми словарями, но лучше все же так не говорить.
Правильно: залезай на кровать. Глагол залазить (и форма повелительного наклонения залазь) – просторечие.
Общеупотребительно и стилистически нейтрально: убирать в квартире. Употребление слова убираться в значении «прибирать, наводить чистоту и порядок» возможно только в разговорной речи.
Корректно: статья об истории города.
Ставится запятая перед союзом или в значении 'то есть'. Когда неповторяющийся союз или соединяет однородные члены, запятая перед ним не ставится.
Правильно только так: с две тысячи одиннадцатого года.
Корректно: попил молока.
Правильно: заволокло.
Период времени – грамотное выражение, однако характеризующееся "канцеляризмом" (преимущественной употребительностью в официально-деловой речи).
Сегодня верно: в Беларуси (жить). Старый вариант: в Белоруссии.
Ведущие говорят правильно. О склонении географических названий см. в «Письмовнике».
