Это устойчивое сочетание, состоящее из двух глаголов.
Не нужно. Сочетание день рождения пишется строчными.
С точки зрения грамматики это сочетание небезупречно.
Сочетание некорректно.
Такое сочетание некорректно.
Такое сочетание неудачно.
Сочетание некорректно. Можно сказать: услуги высококвалифицированных специалистов.
1. В подготовленном Орфографической комиссией РАН полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» (М., 2006) находим ответ на Ваш вопрос: «...Следует иметь в виду, что в существительных после согласных с, з, ж не пишутся суффиксы -щик, -щин(а), а пишутся -чик, -чин(а): ср. сварщик, мойщик, но резчик, разносчик, перебежчик; Орловщина, Смоленщина, но Одесчина, Воронежчина. Буквосочетание сщ встречается только на стыке приставки и корня, напр.: расщепить». Как видите, здесь всё однозначно.
2. Сочетание дни города можно понять как несколько дней (одного года), в рамках которых проходят какие-либо торжественные мероприятия (ср.: Дни славянской письменности и культуры). Поэтому лучше перестроить фразу (например: на протяжении многих лет принимали участие в праздновании Дня города).
Такое сочетание употребляется, но не является общелитературным.
В разговорной речи такое сочетание может существовать. Но не в качестве технического термина.
