Корректно: из озера Байкал.
Правильно: фото из Интернета.
Правильно строчными: одного из уфимских вузов.
Корректно: многие из них лишились жизни.
Верно: выбрать из более чем 30 наименований.
Возможно: пельмени с гусятиной (с начинкой из гусятины).
«Словарь трудностей русского языка для работников СМИ» М. А. Штудинера рекомендует склонять первую часть названия: из Тринидада и Тобаго.
В современном русском языке падежей действительно шесть. Вот выдержка из «Русской грамматики»:
Категория падежа представлена шестью рядами форм, каждая из которых является носителем определенного комплекса категориальных морфологических значений. Эти ряды обозначаются как 1) именительный падеж, 2) родительный падеж, 3) дательный падеж, 4) винительный падеж, 5) творительный падеж и 6) предложный падеж.
