Правильно: пекинская Олимпиада, зимние Олимпийские игры.
Это выражение имеет право на существование (например: играть в эту игру, играть в такую игру).
По рекомендации "Русского орфографического словаря": Параолимпийские игры.
С заглавной (прописной) буквы пишется только первое слово в составе этого названия.
Сложные слова с первой частью ретро- пишутся слитно: ретрокомпьютер, ретроигра.
Корректен вариант с обособлением деепричастия: Учимся говорить, играя!
Оба предложения правильные.
Нелегко ответить на этот вопрос, так как неясны отношения между частями названия (Арена и Югра). Рекомендуем такой вариант: Вы прокатитесь до культурно-развлекательного комплекса (КРК) «Арена Югра».
Корректно: Юношеские Олимпийские игры.
Да, дефис после неизменяемого приложения нужен.