Это неофициальные названия, они пишутся со строчной буквы: парк Горького, сад имени Баумана. См. фиксацию в академическом «Русском орфографическом словаре» под ред. В. В. Лопатина и О. Е. Ивановой (М., 2023).
Правильно: бараны.
Да, эта фамилия склоняется и в женском, и в мужском варианте: Марии Плюты, Ивана Плюты.
Предложение построено неудачно, так как может быть воспринято буквально. Можно вставить в предложение имя: Пока Иван Иванович, правая рука начальника, встречал гостей...
В Вашем предложении слово просто является частицей. Интонационное тире возможно.
Запятая перед пока нужна: она разделяет части сложноподчиненного предложения.
При первом таком употреблении в тексте кавычки уместны. Важно, чтобы читателю по контексту было понятно, о чем идет речь.
Перед как не нужна, после новый нужна.
Поскольку слово может вводное, запятая нужна.
