Правильно: по Москве-реке. По Москва-реке – разговорный вариант.
Корректна форма единственного числа сказуемого. Подробно см. в Письмовнике.
Думаем, что оба варианта нехороши. Лучше: генеральный директор принимает по личным вопросам тогда-то.
Правильно: об экономическом. Предлог об используется перед словами, начинающимися с гласного звука.
В обоих случаях корректно испозование предлога о.
Сочетание по необходимости имеет компонент смысла 'вынужденно, независимо от желания' (см. словарную статью слова невольно в «Словаре синонимов»). Сочетание при необходимости означает 'если есть необходимость' — в приведенном контексте лучше употребить именно его.
Обособление необязательно. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".
В официальных названиях учреждений с большой буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные, например: Агентство по физической культуре и спорту Ярославской области, Комитет по делам молодежи Московской области.
Да, возможны оба варианта.
