Верно: на бесплатной основе. Но более употребительно: на безвозмездной основе.
Приставка анти... пишется слитно: антистресс.
Выбор предлога зависит от смысла: на Сицилию (на остров) и в Сицилию (если нужно подчеркнуть, что речь идет об административной единице – регионе Италии, ср.: в Пьемонт, в Тоскану). В приведенном Вами примере, видимо, стоит выбрать предлог на (бежал на остров).
Правильно: со счастьем.
Верно: Я бы хотел иметь какое-нибудь животное, чтобы ухаживать за ним.
Пишется с апострофом: О'Горман.
Ушли с фабрики - корректно.
Слитное написание правильно.
Раздельно.
См. «Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и более поздние издания). В справочнике указано, что «недопустимы слитные написания с одной прописной буквой в середине слова».
