Это сочетание именно с таким порядком слов не кодифицировано в нормативных источниках. Для ответа на вопрос о прописной/строчной важно знать, в каком значении и контексте используется данное сочетание (это имя сказочного персонажа или просто обозначение уродливой злой старухи) и, если это имя персонажа, с какой целью разрушается традиционный порядок слов в нем.

В словаре В. И. Даля зафиксировано: «ЯГА или яга-баба, баба-яга, ягая и ягавая или ягишна и ягинична, род ведьмы, злой дух, под личиною безобразной старухи». В данном контексте яга-баба пишется строчными как имя нарицательное. Но словарь Даля не является нормативным справочником по современному русскому языку.

Из фамилий, оканчивающихся на -а, которому предшествует согласный, не склоняются только фамилии французского происхождения с ударением на последнем слоге (Дюма́, Гавальда́). Преимущественно не склоняются финские имена и фамилии, оканчивающиеся на -а неударное (хотя в ряде источников и их рекомендуется склонять). Фамилия Барбынца к этим группам несклоняемых фамилий не относится и должна склоняться. Правильно в родительном падеже: передали от Барбынцы, в дательном: передали Барбынце.

Склонять фамилию важно еще и потому, что из косвенных форм должна однозначно выводиться форма именительного падежа фамилии. Прочитав сочетание передали от Барбынца, адресат текста сделает вывод, что речь идет о человеке по фамилии Барбынц или Барбынец.

Точный ответ на Ваш вопрос содержится в академической «Русской грамматике» (см. § 984): «Морф -жды выступает после гласных в наречиях, где основа мотивирующего слова выступает с наращением за счет финали, совпадающей с флексией им. п. числ.: дважды, трижды, четырежды».

Поскольку финаль, совпадающая с флексией (т. е. окончанием) именительного падежа, перед суффиксом — это то, что очень сложно объяснить в рамках школьной программы, любой школьный разбор этого слова по составу обречен быть неточным, и уже не так важно, как будет выделено это а — как часть корня, как отдельный суффикс или как окончание.

Авторские слова, вводящие прямую речь, следует начать с глагола:
— Вряд ли всё было так, — попыталась она остановить друга от дальнейшего обсуждения.

Для решения о пунктуационном оформлении текста важно, что эти слова содержат мотивировку поведения одного персонажа (попыталась остановить). Следующее далее описание ситуации, поскольку в нем идет речь уже о действиях разных персонажей, уместно начать с нового абзаца. Глаголы типа посмотреть, нахмуриться и т. п. могут использоваться в качестве вводящих прямую речь и сопровождаться двоеточием:

*Еще что-то про описание ситуации и действия героев в перерыве между словами, 2–3 предложения или больше*. Затем осуждающе посмотрела на него:
— Ты такой сплетник.

Это не перечисление двух глаголов, а составное глагольное сказуемое. Вид смыслового инфинитива в общем случае не влияет на прочтение частновидового значения связочного глагола (отказывалась). Влияет более широкий контекст. Если, допустим, в суде спрашивают, имел ли место факт отказа потерпевшей от предложения выйти замуж, то не имеет значения, какой глагол из видовой пары выходить/выйти будет использован:

Она отказывалась выходить за него замуж (или нет)?

Она отказывалась выйти за него замуж (или нет)?

В обоих случаях имеем общефактическое значение НСВ: суду важно выяснить, каковы были мотивы преступного деяния, совершенного в отношении потерпевшей, и, если имел место факт отказа, возникает версия такого мотива.

Написание слова лаунж и слов с первой частью лаунж- (лаунж-музыка) было изменено в академическом орфографическом словаре, размещенном на ресурсе «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН. Изменения произошли во второй половине 2024 года, тогда же были добавлены слова лаунж-бар, лаунж-зона.

Орфографическая работа в Институте русского языка им. В. В. Виноградова РАН идет непрерывно, ее результаты в электронном «Академосе» можно увидеть быстрее, чем в печатном «Русском орфографическом словаре». На Грамоте представлена электронная версия печатного «Русского орфографического словаря», поэтому те изменения, которые были внесены в «Академос» позднее, на Грамоте не отображаются.

И в старых «Правилах русской орфографии и пунктуации» 1956 г., и в современных «Правилах русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина обсуждаемые корни приведены в виде рас(т), рос(т). Школьный вариант раст, рос диктуется, видимо, какими-то методическими соображениями, но он неточен. Корень рас с буквой а встречается в инфинитиве расти и приставочных производных от него: врасти, взрасти, возрасти, вырасти, дорасти, зарасти, нарасти, обрасти, отрасти, перерасти, порасти, подрасти, прирасти, прорасти, произрасти. То, что в инфинитиве именно корень рас, видно в имеющих ту же основу формах прошедшего времени, где т отсутствует: расти — рос и т. п.

Видите ли, мотивировка названия все же не вполне ясна. Например, на сайте «Комплекс градостроительной политики и строительства города Москвы» говорится о том, что рабочее название станции было «Улица Народного Ополчения», а утвержденное — «Народное Ополчение». Значит, названия станции и улицы, находящейся вблизи станции, все же связаны. Когда возможна двоякая трактовка написания, то есть слово или словосочетание можно подвести под два правила, приводящих к разным орфографическим формам, лингвисты говорят о двойной мотивации и выбирают одно написание в качестве нормативного, потому что орфографические варианты (особенно для индивидуальных названий) создают трудности в коммуникации. Выбор здесь за номинатором. Важно, чтобы название записывалось единообразно. Одно из написаний однозначно должно быть признано ошибочным.

Возможно как слитное, так и раздельное написание согласно правилу правописания НЕ с краткими прилагательными. Авторы академического справочника по орфографии и пунктуации дают следующую рекомендацию: пишущий должен отдавать себе отчет в том, что он хочет выразить: отрицание признака — и тогда написать НЕ отдельно от следующего слова (напр.: он не здоров, не важно, не редки случаи, не случайно, не существенно, не удивительно, не демократическим путём) или утверждение признака — и тогда написать НЕ слитно (ср.: он нездоров, нередки случаи, неважно, неслучайно, несущественно, неудивительно, недемократическим путем). От выбора написания будет зависеть и понимание написанного читающими (Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006. § 149).

Многое зависит от того, что именно говорящий считает уместным или неуместным.

Что касается смысловых оттенков, то при использовании глагола НСВ говорящий как бы мысленно возвращается в тот момент, когда совершал покупку (и заставляет адресата представить этот момент), при этом подчеркивается, что говорящий в этот момент думал о человеке, которому он выбирал подарок. Последнее (выбор подарка) тоже входит в представляемую ретроспективно ситуацию именно благодаря использованию глагола НСВ, подчеркивающего протяженность процесса выбора и покупки.

При использовании глагола СВ эти оттенки смысла исчезают, зато подчеркивается наличие результата.

Судя по контексту (Пожалуйста, не отказывайся от подарка), говорящему должно быть важно подчеркнуть первую группу смысловых оттенков; в таком случае уместнее глагол НСВ.