Выражение подишь ты, в том числе в составе оборота ишь ты подишь ты, встречается в литературе. Оборот ишь ты подишь ты включен в «Словарь русского языка» С. И. Ожегова в его различных изданиях. При этом выражение поди ж ты в словаре Ожегова тоже есть. Однако в большинстве словарей, в том числе в «Русском орфографическом словаре» РАН, представлено только выражение поди ж ты. Поэтому следует предпочесть написание ишь ты поди ж ты. Встречается написание с запятой между ишь ты и поди ж ты и без нее. Первый вариант встречается чаще, но предпочтителен второй.

В свою очередь — это грамматический фразеологизм. О них писали А. Баранов и Д. Добровольский в книге «Основы фразеологии». Грамматические фразеологизмы — это неоднословные выражения, которые с содержательной точки зрения характеризуются идиоматичностью значения (т. е. их план содержания не вычисляется по регулярным правилам) и которые связаны с нерегулярным выражением грамматических (в том числе модальных) смыслов и/или представляют собой сочетания различных служебных слов.

Такие фразеологизмы могут выполнять метатекстовые функции, вводить примеры и т. п. То есть роль члена предложения в данном случае — не критерий фразеологичности. Так же устроены тем не менее, по меньшей мере, чуть что, в том числе.

Верно раздельное написание: категорически не согласен. Здесь отрицается согласие, к тому же слово категорически усиливает это отрицание. Если слова категорически нет, в принципе, допустимы оба варианта, но, по наблюдениям Д. Э. Розенталя, в паре не согласен – несогласен чаще встречается раздельное написание, т. к. больше чувствуется отрицание положительного признака, чем утверждение отрицательного.

Если приводится дословная цитата из текста Д. Писарева, то оформляется она именно так, как Вы оформили. Пунктуация при цитатах в справочниках обычно описывается отдельно от пунктуации при прямой речи, хотя эти явления очень близки друг другу. В научной литературе применительно к тому и к другому может использоваться термин чужая речь.

Морфемный состав слова чернила разные специалисты определяют по-разному. Мы склоняемся к тому, чтобы выделять в этом слове корень черн-: черн-и-л-а. Такой вариант членения этого слова предложен в «Словаре морфем русского языка» А. И. Кузнецовой и Т. Ф. Ефремовой. В таком случае можно проверить правописание этого слова однокоренным прилагательным черный.

Значения слов подпись и роспись не изменились, роспись в значении 'подпись' по-прежнему ошибка. Причины частотности этой ошибки те же, что и в ситуации надеть – одеть: разница в значении этих похожих по звучанию слов для многих неочевидна. К тому же носителей языка окончательно запутывает глагол расписаться. Так и оказалась эта ошибка в Трудовом кодексе.

Такая логика губительна для правописания. Правила написания не со словами разных частей речи и без того непросты и не нуждаются в дальнейшем усложнении (к тому же искусственном, никак не опирающемся на практику письма). Аналогии с правилами написания не с прилагательными не видим: у Вас в обоих примерах отрицание действия, а не утверждение.

Словари фиксируют и такое значение слова подворотня: "проем в стене дома для проезда, прохода во двор" (разг).

Поравнявшись с своим домом, он кивнул головой Лебезятникову и повернул в подворотню. Достоевский, Преступление и наказание.

В подворотнях, в глубоких арках под домами упрямо держится зыбкий сумрак, забивается подальше во дворы. Тендряков, Свидание с Нефертити.

Вы правы в том, что кавычки употреблены неудачно. Если их и ставить, то закрыть нужно после фамилии. Однако при употреблении названия не в юридических документах в форме школа № 2129 имени Героя Советского Союза П.И. Романова кавычки не нужны вообще. 

Ответ департамента образования тоже верен: нормы употребления кавычек не устанавливаются законодательно. Как записали название в уставе, так и будет оно воспроизводиться во всех документах. Чтобы изменить название, нужно произвести сложные юридические действия, на это нужна добрая воля руководителя организации и его руководства. Изменение даже только кавычек в названии влечет за собой множество юридических проблем, поэтому обычно названия сохраняют в том виде, в котором они уже закреплены.