Корректно: Но единственное, чего он действительно не понимает, это система... Обратите внимание, что сочетание система по поиску выглядит некорректным. К сожалению, мы не можем предложить вариантов на замену, потому что смысл сочетания не вполне ясен.

Вы задаете очень интересный вопрос. Следует признать, что написание составных названий храмов, соборов, церквей, включающих в свой состав непереводимые иностранные служебные слова, части сан-, санта- и под., недостаточно урегулированы орфографическими правилами и словарями. В правилах говорится о дефисном написании названий с частями сан-, санта- и под., из чего можно сделать вывод о дефисном написании всего названия (Сан-Хуан-де-ла-Пенья), однако в примерах к правилу подобные многокомпонентные названия, к сожалению, не приводятся, что оставляет простор для интерпретаций. В словаре «Прописная или строчная?» (в котором, заметим, разрабатывалась проблема выбора буквенного регистра, а не слитного, раздельного, дефисного написания), мы находим разные написания (напр., Сан-Хуан-де-ла-Пенья и Санта-Мария де Регла). Безусловно, проблема требует изучения. Наша предварительная рекомендация — написать название собора через два дефиса (Сан-Джорджо-Маджоре). Эта форма будет соответствовать общему правилу о дефисном написании географических наименований и фиксации в «Большой российской энциклопедии». В орфографических словарях данное название не отмечается.

Большое спасибо за Ваш вопрос! Мы передадим его орфографистам Института русского языка РАН.

У сочетания насос-форсунка склоняются обе части. 

Нормативными словарями фиксируется два варианта: вблизи чего, вблизи от чего. См., например, ресурс «Проверка слова». 

Подобная ситуация правилами не регламентируется. Полагаем, что можно провести пунктуационную аналогию с теми случаями, когда в качестве однородных членов выступают наречие и деепричастие или деепричастный оборот. Обособление при этом отсутствует, например: Клим Самгин шагал по улице бодро и не уступая дорогу встречным людям (М. Горький); Спокойно и не глядя ни на кого она продолжала свой рассказ. То же в Вашем предложении: Как проходят турниры, от чего может зависеть результат и многое другое Алексей представил в своём обзоре.

Корректно: критерии (чего?) истины, оценки.

От прилагательного любительский образуются существительные любительщина и любительство. Однако в Вашем предложении лучше употребить сочетание любительский уровень.

Вы правы, правило часто формулируется так, что под него нельзя подвести слова с двумя приставками типа подызносить. Однако академические правила (то есть наиболее полные, детальные) учитывают данные слова. См. Полный академический справочник под ред. В. В. Лопатина, § 12, п. 2.

В письменной речи такие предложения нежелательны. Нужно не расставлять в них знаки, а перестроить их. Возможны разные варианты, например:

Существует вещество, которое очищает воздух. 

Существует вещество, которое добавляют в воздух, в результате чего он очищается.

Если непременно нужно записать приведенные Вами разговорные фразы без изменений, то лучше перед союзами и поставить вместо запятых тире.

Воспользуйтесь, пожалуйста, словарем «Управление в русском языке».