Приставки, как правило, многозначны. Чтобы выяснить значение, следует обратиться к толковому словарю (нужно посмотреть толкование конкретных глаголов с этими приставками).
Исключений нет: На месте безударного гласного пишется а: заря´, зарни´ца, зарево´й, озари´ть, озаря´ться, озаре´ние, заря´нка (птица), заряни´ца; зарева́ть; под ударением — а и о, ср.: за´рево, лучеза´рный, светоза´рный и зо´ри (мн. ч. слова заря´), зо´рька, зо´ренька, зо´рюшка, зо´ря (военный сигнал, обычно в выражении бить или играть зо´рю).
Если буква О в НТО означает "общество" или "объединение", то верно: авторизовало, присвоило, уполномочило. То же касается ОАО, ЗАО, ООО.
Представляется более корректным считать за грибами дополнением (пошли за чем?). Но не будет ошибкой и такой разбор этого предложения, при котором слова за грибами будут выделены как обстоятельство цели (пошли с какой целью?).
Запятая не нужна, если это контекст плата за газ за февраль, а не перечисление тостов: за газ, за февраль... :)
Вариант сходить за водой стилистически нейтральный, вариант по воду уместен в народно-поэтической речи. По хлеб – неправильно.
