В этом случае предпочтительна форма единственного числа сказуемого: побольше детей смогло поехать. Обратите внимание, что форма побольше — разговорная.
Верно (если об одном и том же говорится разными словами): прямой обмен, или так называемый бартер.
Существительное карате тоже правильно писать с буквой е. В конце иноязычных слов после согласных пишется буква е, а не э, независимо от произношения.
Правильно: для детей от 3 лет. Наращение (буквенное падежное окончание) не используется в записи количественных числительных.
Предпочтительно во мн. ч.
Запятая не ставится: определения характеризуют определяемое слово с разных сторон и не являются однородными.
Корректен первый вариант.
Кавычки не нужны, второй вариант написания возможен.
Порядковые номера монархов с одинаковыми именами принято обозначать римскими цифрами: Петр I, Екатерина II, Александр III. Римская цифра I обозначает, что Петр — первый царь с таким именем.
Наиболее подробно вопрос сочетания парного тире, выделяющего вставку, с другими знаками препинания, освещен в примечании 4 к параграфу 26.2 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя. Примеров, аналогичных Вашему, там не приведено. Исходя из того, что «перед первым тире ставится запятая, если этого требует структура первой части основного предложения», а в данном случае структура того не требует (нет оборотов, которые нужно закрыть), можно рекомендовать не ставить запятую в этой позиции.
