Сочетание соблюдать спокойствие не ошибочно, но всё-таки и не вполне удачно. Соблюдать – 1) строго придерживаться чего-либо, в точности выполнять что-либо (соблюдать дисциплину, соблюдать диету, соблюдать приличия), 2) тщательно оберегать; поддерживать (соблюдать достоинство, соблюдать чистоту, соблюдать тишину). Сохранять (в рассматриваемом значении) – продолжать оставаться в каком-либо положении, состоянии, не утрачивать, не лишаться каких-либо качеств, свойств (сохранять спокойствие, сохранять невозмутимость, сохранять равновесие).
Таким образом, предпочительно: сохранять спокойствие (т. е. «продолжать быть спокойными, не утратить спокойствие»).
В русском письме не каждая пауза, возникающая при чтении предложения, отмечается запятой (и наоборот: запятая может быть поставлена там, где при чтении нет паузы), потому что основной принцип русской пунктуации — грамматический (синтаксический, структурный). В приведенном примере союз и соединяет два однородных сказуемых, которые относятся к подлежащему Антон из предыдущего предложения; само это предложение с однородными сказуемыми неполное. По грамматическому принципу запятая здесь не требуется.
Согласно справочнику Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке» (М., 2005), представлять из себя – разговорное выражение, представлять собой – стилистически нейтральный вариант. Таким образом, представлять собой – не единственно правильный вариант, в непринужденной устной речи допустимо сказать представлять из себя.
Все три варианта возможны.
Запятая не требуется.
Выражение корректно, однако нужно иметь в виду, что сочетание в одночасье имеет разговорно-сниженную стилистическую окраску.
Верно: он жжёт бумагу.
Это выражение некорректно.
Да, грамматически это распространенное предложение.
