Если это один человек с двойной фамилией, то нужен дефис; если речь идет о двух разных людях, то ставится тире (см. примечание 9 к параграфу 19.10 в справочнике по пунктуации Д. Э. Розенталя: Чацкий — Качалов был неподражаем).

Слово мцыри выступает здесь как имя литературного персонажа, и его надо написать с прописной буквы: Мцыри. В стихотворных цитатах, включенных в состав прозаического текста в качестве его компонентов, строки отделяются одинарной или двойной косой чертой, прописные буквы в начале строк сохраняются.

Между двумя (и более) именами собственными, совокупностью которых называется какое-либо учение, явление и т. п., ставится тире, например: закон Бойля — Мариотта, методика Дембо — Рубинштейн. Это тире в функции соединения. Его следует отличать от дефиса, соединяющего части двойной фамилии: картины Петрова-Водкина.

Минимальное вмешательство, которое сделает фразу корректной, состоит в устранении союза а — в этом случае в предложении возникнет двойной союз поскольку... значит. Кроме того, частица ну не требует обособления: Ну поскольку я все равно не помню, куда мне было надо, значит я особо не занята.

Корректно: Я понимаю эти чувства у других и если не могу одобрять их, то и не осуждаю их. В данном случае двойной (сопоставительный) союз если не... то соединяет однородные сказуемые могу одобрять и не осуждаю; эта пара сказуемых соединена союзом и со сказуемым понимаю. 

Причастным оборотом называют причастие с зависимыми словами (пусть даже и составляющими целое предложение). Кроме того, запятая перед словом ищущие ставится не на том основании, что это причастный оборот, а на том, что это распространенное постпозитивное определение. При двойном разборе следует подчеркнуть волнистой линией конструкцию ищущие, что посмотреть в России самого необычного и даже мистического, но при этом выделить отдельные члены в предложении что посмотреть в России самого необычного и даже мистического. 

В приведенных Вами примерах большая буква — также сигнал необычного значения. Для этой цели могут использоваться кавычки, однако при частом употреблении таких названий дополнительный двойной знак загромоздил бы текст. Выбрали более экономный способ, может быть зная о том, что в прошлом названия национальностей писали с большой буквы.

Если это вопрос о падеже, здесь действительно необходим творительный падеж прилагательного или причастия. В подобных конструкциях прилагательное или причастие (при котором могут быть зависимые слова) находится в двойной зависимости: в падеже — от глагола, в числе и роде — от существительного: Они вешают флаг обращенным вверх (какой-либо частью); Знамя повесили перевернутым.

Вопрос о написании слова? Мы бы написали слитно.