Правильно: с 2 июня (с цифрой), со второго июня (при записи числительного буквами).
Следует отличать слово нужно как слово категории состояния, то есть выступающее в качестве сказуемого в односоставном безличном предложении, от кратких форм прилагательного нужный (нужен, нужна, нужно, нужны). В первом случае слово нужно ведет себя так же, как слово надо. Эти слова сочетаются обычно с глаголами, но сочетаемость с существительными для них тоже возможна (Мне надо денег; Мне нужно денег). Во втором случае формы слова нужный, подобно другим кратким прилагательным, выступают как части именного сказуемого в двусоставном предложении и, естественно, чаще всего соседствуют с существительными-подлежащими: Мне нужна твоя одежда; Мне нужны твои ботинки; Мне нужен твой мотоцикл; Мне нужно твое согласие.
Перед словами, начинающимися с согласного [щ], употребляется предлог со: коробка со щенками.
Сокращенные наименования министерств пишутся с большой буквы: Минрегион, Минздрав, Минфин и т. п.
С нее станется – неодобр. от нее можно ожидать всего (обычно о плохом поступке).
См. «Правила» (пункт III, пункт VII).
Рекомендации справочников (см., например, справочник Д. Э. Розенталя): с целью установить – в целях установления.
Запятые в этом предложении не нужны. Порядковое числительное четвертый следует писать с наращением: 4-й. Название раздела сайта «Личный кабинет» следует писать в кавычках. Корректно: Уже на 4-й день с момента доставки груза отсканированные документы с отметкой получателя будут в «Личном кабинете».
