Слово аккомпаниатор образовано от глагола аккомпанировать с помощью суффикса -атор. Существительные с суффиксом -атор называют лицо, осуществляющее действие, названное производящим глаголом, например: реставрировать → реставр-атор, агитировать → агит-атор и т. п. Словообразовательный процесс сопровождается усечением суффикса -ирова- в основе производящего глагола. При образовании слова аккомпаниатор усечение является неполным: в производящей глагольной основе, которая входит в производное слово, гласный и сохраняется: аккомпанировать → аккомпани-атор.

Слово аккомпанемент в русском языке непроизводное, является заимствованием из французского языка: accompagnement (франц.) ― ‘сопровождение’. Отрезок -емент- с историко-этимологической точки зрения  представляет собой французский суффикс. В русском языке этот суффикс не участвует в словообразовательных процессах, однако при собственно морфемном анализе может выделяться на основе аналогии, ср.: аккомпан-емент, ангаж-емент, абон-емент.

Это случай несколько иного рода, чем приведенные в справочнике по пунктуации Д. Э. Розенталя примеры типа Даже и Ласка, спавшая свернувшись кольцом в краю сена, неохотно встала (Л. Т.) или Но Клим видел, что Лида, слушая рассказы отца поджав губы, не верит им (М. Г.), где деепричастный оборот по отношению к причастию играет роль обстоятельства образа действия (отвечает на вопрос как?). В Вашем случае два однородных деепричастных оборота вступают скорее в уступительные отношения с причастием: «изображает предмет, хотя не обладает знанием о нем, не интересуется его природой». Бо́льшая сложность смысла, выражаемого деепричастным оборотом (оборотами), — аргумент в пользу того, чтобы все-таки поставить запятую, несмотря на тесную связь с причастием.

Такая конструкция вполне возможна. Она имеет книжный характер, ср. у А. С. Пушкина в трагедии «Борис Годунов»: «Я слышу речь не мальчика, но мужа». В академической «Русской грамматике» сказано: «Отрицательно-противительное значение взаимного исключения выражается союзом не... а (а не): [Чацкий:] Кто служит делу, а не лицам... (Гриб.); Я говорю не для вас, а для Вани (Некр.); Подарила мне колечко — не золотое, не серебряное, а простое. Резкость противопоставления смягчена в союзе но: не... но (но не): Он был оскорблен не самим признанием, но грубой небрежностью Авдея (Тург.); Эта работа потребует знаний, квалификации, но не физических усилий (журн.)» (Русская грамматика. М., 1980. Т. 2. § 2077).

В орфографическом словаре есть рентгенотерапия и рентгенодиагностика (с фиксируемым вариантом рентген-диагностика). По аналогии слитно и с буквой О должно писаться слово рентгенохирургия (как вариант - рентген-хирургия).

К сожалению, этот вопрос не в нашей компетенции. Мы отвечаем на вопросы по русскому языку.

Все предприятия пишутся через О: кОмпания.

Орфографический словарь

Большой толковый словарь

Вызывает сомнения употребление здесь слова патронаж.

Да, с конца прошлого века сочетания под патронажем кого-либо и под патронатом кого-либо употребляются равноправно в значении «под наблюдением, содействием и руководством кого-либо, чего-либо» (подробнее см. в «Словаре трудностей»). Но всё же слово патронаж (вне устойчивого сочетания быть под патронажем кого-либо) употребляется для обозначения формы оказания помощи лицу, а не учреждению. В «Толковом словаре русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой (М., 1997) слово патронаж зафиксировано только в одном значении – «регулярное оказание лечебно-профилактической помощи на дому новорожденным и некоторым категориям больных». В Гражданском кодексе РФ патронаж рассматривается как форма помощи совершеннолетнему дееспособному гражданину (и там, кстати, употребляется предлог над: патронаж над совершеннолетними дееспособными гражданами). Поэтому, на наш взгляд, лучше: оказание помощи детскому дому.

Да, в подобных двухчастных заголовках ставится двоеточие. Оговоримся, что в справочнике по пунктуации Д. Э. Розенталя приводятся только примеры заголовков, состоящих из форм именительного падежа существительных, типа Многоэтажные улицы: спасение или бедствие? Между примерами из справочника и Вашим примером имеются и смысловые различия. В заголовках из справочника первая часть называет общую проблему, место действия, лицо, а вторая — содержит конкретизацию названного в первой части. В приведенном Вами случае в первой части заголовка приводятся чьи-то слова в форме прямой речи (хлесткая фраза, призванная привлечь внимание к новости), а во второй части поясняется, кто и при каких обстоятельствах сказал эти слова, и как раз это пояснение является новостью. Впрочем, полагаем, правило об оформлении двухчастных заголовков вполне можно распространить и на примеры вроде приведенного Вами. 

Верно с запятой: Как такой же клиент, я могу понять, насколько важны доступ к своим финансам и пользование счётом без ограничений. Постановка этой запятой регулируется правилами об обособлении приложений. См., например, формулировку из параграфа 64 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина: «Обособляются запятыми приложения, имеющие при себе присоединяющие их слова (по имени, по фамилии, по прозвищу, по происхождению, родом и др.), а также союзы как (при осложненности причинным значением) и или (при пояснительном значении): (...) Ему, как человеку робкому и необщительному, прежде всего бросалось в глаза то, чего у него никогда не было, а именно — необыкновенная храбрость новых знакомых (Ч.); Как лицо служебное, милицейское, Сошнин привык знакомиться с разным народом (Аст.)».

Названия минералов и веществ пишутся без кавычек, как в Ваших примерах.