Псевдонимы, так же как и личные имена и фамилии, пишутся с прописной буквы и не заключаются в кавычки. Правильно: Некоторое время Гавриленко публиковалась также под своей девичьей фамилией Образцова. Она публиковалась под псевдонимом Светлана Демидова. Ср.: известен под именем Вася (не под именем Васи и не под именем «Вася»).
Если речь идет о географическом названии (пусть и вымышленном), верно: остров Невезения (по общему правилу). Как название песни – «Остров Невезения».
А вот если какая-нибудь территория будет образно названа Островом невезения, верным будет именно такое написание (в образных названиях с прописной буквы пишется первое слово), ср.: Остров свободы (о Кубе).
Общее правило таково: служебные слова, входящие в состав западноевропейских фамилий (ван, де, делла, ла, фон и т. п.), пишутся со строчной буквы, например: Лопе де Вега, Оноре де Бальзак, Шарль де Голль. Однако в некоторых именах Де традиционно пишется с прописной буквы, например: Шарль Де Костер, Роберт Де Ниро.
Тире после многоточия не сохраняется: И такая мелочность... это не наш метод. Заметим, что в этом примере существительное мелочность воспринимается скорее как именительный темы, чем как подлежащее к сказуемому не наш метод, поэтому более корректно написание второй части высказывания с прописной буквы: И такая мелочность... Это не наш метод.
Правилен третий вариант. Обратите внимание: если обращение, стоящее в начале предложения, произносится с восклицательной интонацией, то после него ставится восклицательный знак и следующее за обращением слово пишется с прописной буквы. Если важно подчеркнуть, что в тексте цитируется А. С. Пушкин, то строчную букву в слове скажи нужно оставить.
Слово потолок зафиксировано в словарях русского языка в значении 'предел, предельная степень чего-либо' (потолок цен, потолок зарплаты). Но такое употребление является разговорным. Поэтому, если текст допускает использование разговорных слов, кавычки можно не ставить. В противном случае кавычки уместны.
Об употреблении кавычек (и критериях их постановки/непостановки) см. в «Письмовнике».
С прописной буквы пишутся первые слова в названиях полков, например: Кавалергардский полк, Преображенский полк, лейб-гвардии Гусарский полк, лейб-гвардии Кирасирский полк и т. п. Слова кавалергарды, преображенцы, лейб-гусары, конная гвардия, императорские стрелки и т. п. пишутся строчными буквами. Обратите внимание: слово империя в названии Российская империя тоже пишется со строчной.
Де опускать не следует, поскольку все подобные служебные элементы (артикли, предлоги, частицы) входят в состав фамилий. Де пишется раздельно, однако возможно написание этого компонента как со строчной буквы (по общему правилу), так и с прописной буквы (по традиции в некоторых именах), например: Шарль де Голль, но: Джузеппе Де Сантис.
Корректно: Центральные державы. Ср.: Тройственный союз (это название фиксирует орфографический академический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН). Написание отвечает правилу: в названиях объединений государств (современных и исторических, официальных и неофициальных) с прописной буквы пишется первое слово, а последующие слова пишутся по традиции.
