1. Да, такое правило существует, оно подробно описано в "Русской грамматике" (М., 1980). Если кратко, то форма на -У для ряда слов второго склонения соответствует "местному" значению предложного падежа (где - в лесу, в порту, на дому).
2. Это винительный падеж. Цитируем "Русскую грамматику":
Во мн. ч. последовательно выражается принадлежность слов к лексико-грамматическому разряду существительных одушевленных или неодушевленных (см. § 1129). Исключение составляют формы вин. п. одушевленных существительных муж. и жен. р., совпадающие с формой им., а не род. п. мн. ч., в таких сочетаниях, как 1) выбрать в депутаты, поступить в машинистки, пойти в летчики; 2) играть в казаки-разбойники, в дочки-матери, в кошки-мышки.
Примечание. В том случае, если слово, называющее лицо, во мн. ч. не употребляется как название игры, то в сочетании с глаголом играть употребляется форма вин. п., совпадающая с формой род. п., например: играть в казаки-разбойники, но играть в чапаевцев, в космонавтов.
Вероятно, алгоритм программы находит однородные члены предложения (им и двоим, там и негде). В действительности однородных членов нет, запятые не нужны.
Кавычки не требуются, возможна постановка тире.
Верное написание: Дом Гоголя (если речь идет о названии музея).
Ошибки в согласовании нет.
Вы правы: если придаточная часть состоит из одного союзного слова, запятая не ставится. А вот если при союзном слове имеется частица (в нашем случае – именно), то постановка запятой факультативна. Окончательное решение принимает автор текста.
Верно: содержание желтка более 1%.
Это не так. В предложении есть подлежащее - "кто из детей".
В эту версию верится с трудом. Не видим оснований считать данные слова частью грамматической основы.
Обороты, присоединяемые предлогом «в случае», могут обособляться. О факторах, влияющих на расстановку знаков препинания, см. в «Справочнике по пунктуации».
