В начале предложения сложные союзы, как правило, не расчленяются.

Оба варианта возможны.

Возможны варианты пунктуации:

• Я всегда заболеваю, перед тем как поехать в отпуск.
• Я всегда заболеваю перед тем, как поехать в отпуск.

Благодаря - это предлог, а не вводное слово. Обороты, присоединяемые этим предлогом, могут факультативно обособляться запятыми (при сопутствующем интонационно-логическом обособлении).

В русском языке междометия не употребляются в качестве первой части сложных слов. (Единственный пример, который удалось вспомнить, это заимствованные слова вроде вау-эффект.) Поэтому мы не рекомендуем использовать такие конструкции в письменной речи.

Пауза не является достаточной причиной для постановки запятой. В этом случае можно поставить многоточие: Тогда... можно я спрошу у вас кое-что?

Дома здесь – наречие.

См.: Как писать заявление?

В СГС это действительно может быть или фазисная, или модальная связка. Инфинитив должен быть субъектным (это то, что спрашивающий имеет в виду, говоря, что действие «выполняет подлежащее»). Объектный инфинитив (Мама попросила Сережу встретить ее на остановке) в СГС не входит и является дополнением. Субъектный же инфинитив не входит в СГС в том случае, когда, во-первых, глагол в спрягаемой форме не имеет ни модального, ни фазисного значения, во-вторых, этот инфинитив называет цель действия по основному глаголу (Мы отправились на речку купаться). Способ проверки очень простой: перед таким инфинитивом можно вставить союз чтобы.

В предложении Я не успела послать письмо глагол успела обозначает отношение субъекта к действию, обозначенному инфинитивом. Отношение может быть разным: хотела послать, смогла (не смогла) послать, умудрилась послать, не сумела послать, успела… мечтала… и т. д. А обозначение этого отношения и есть функция модальной связки СГС. Поэтому здесь, безусловно, СГС. Да и союз чтобы вставить никак не получится.