Запятая не нужна.
Как правило, используется именно раздельное написание: не напрасно.
Верно.
Запятая нужна: она разделяет главную и придаточную части сложноподчиненного предложения.
Если есть техническая возможность, следует использовать кавычки разного рисунка: «Метро "Библиотека имени Ленина"». Если такой возможности нет, двойные кавычки не ставятся: «Метро «Библиотека имени Ленина».
Наличие зависимых слов влияет на написание НЕ с причастиями, но не с прилагательными. Слитное написание в данном случае корректно.
Если речь идет о фотографии этикетки какого-то товара, то правильно: Просим направить фотографию его этикетки...
Да, слова уют и ютиться (также приют) этимологически родственные (однако в современном русском языке однокоренными они не являются). При этом слово ютиться – наиболее позднее образование из этой группы слов, с искусственно, произвольно извлеченным корнем, образовано оно, по-видимому от слова приют (т. е. слово приют было воспринято как слово с приставкой при- и корнем -ют, и этот «корень» послужил основой для создания слова ютиться).
Что касается происхождения слова приют, то его этимология до конца точно не установлена. Возможно, это слово восходит к тому же древнему индоевропейскому корню, что и слово приятель, –*priio-. От этого же корня образованы многие слова со значением 'любовь; дружба, привязанность' в других индоевропейских языках.
