Слова категории состояния – это слова, обозначающие состояние и выступающие в функции сказуемого в безличном предложении. Чтобы проверить, может ли слово относиться к категории состояния, необходимо составить с ним безличное предложение. Например, проверим слова весело, тоскливо, быстро: Мне весело; Мне тоскливо; Мне быстро. Последнее предложение невозможно. Значит, слова весело и тоскливо могут быть словами категории состояния, а быстро – нет.

Слова мама, папа, баба, деда, дядя, тетя – это слова из детского языка. Они образованы путем повторения слогов ма-, па-, да- и т. п., вычленяемых из детского лепета. Т. е. не сами дети произносят осознанно эти слова, а взрослые, прислушиваясь к лепету младенца, находят в нем какие-то звукосочетания, похожие на слоги. Так появляются эти слова, но в разных языках они получают разное значение (т. к. звуковой облик слова не имеет мотивированности). Поэтому, например, в грузинском языке мама – это «папа», а «мама» – деда. В тюркском языке баба – «отец, дед». Ср. также русское дед и англ. daddy – «папа».

В предложении "Принято решение закрыть городской парк" знаки препинания внутри фразы не требуются. 

Имя Ара склоняется по модели папа: папы Ары, папе Аре, папу Ару и т. д.

Да, так написать можно.

Запятая не нужна.

Нет, не является. В сочетании по парам существительное пара имеет достаточно узкое значение "два лица, к-рые действуют, находятся вместе, объединённые чем-л. общим, рассматриваемые как нечто целое" и узкую лексическую сочетаемость (разбить по парам).  

Корректно: договор заключен с филиалом «Автобусный парк № 5» государственного предприятия «Гомельтранс».

Правильно: мосты, посты. Русское ударение не фиксированное (как, например, во французском языке или в польском), оно подвижное и разноместное, в разных словах (и даже формах одного слова) может падать на разные слоги. Аналогии и рассуждения «если правильно... то должно быть ...» к ударению в русском языке неприменимы, в спорных случаях надо обращаться к орфоэпическим словарям.