Правильно: ко дню в значении приуроченности к какому-либо событию. Если имеется в виду, что мероприятие приурочено к празднику, верно: мероприятие ко Дню молодежи.
Верно: постучался ко мне в дверь, постучался в мою дверь.
Да, написание в кавычках со строчной корректно во всех случаях.
Правильно: ко всей.
Правильно: к врачу.
В высоком стиле корректно: ко Христу, со Христом.
Корректно: Ах ты, кисонька, ты, кот! Ах ты, кисонька ты кот!
Верно: Кот дернул хвостом и повернул голову: домой вернулась хозяйка.
В этом бессоюзном предложении очевидна причинно-следственная связь между его частями: кот дернул хвостом и повернул голову, потому что домой вернулась хозяйка. В этом случае следует поставить двоеточие. Если бы смысловые отношения между частями предложения были другими (Кот дернул хвостом и повернул голову (поэтому) домой вернулась хозяйка), нужно было бы поставить тире.
