Правильно: в Брно, до Брно. Склонять это название нельзя. Несмотря на то что в чешском языке Брно склоняется, в русском оно выступает как несклоняемое существительное. (Однако названия чешских городков, содержащие слова u Brna, мы передаем так, как они звучат по-чешски: Славков-у-Брна, Вранов-у-Брна).

Да, это официально действующие «Правила русской орфографии и пунктуации», утвержденные в 1956 году. Официально действующие правила, в ряде случаев значительно отстающие от современной практики письма, противоречащие ей, – такой вот парадокс. Понятно, что сформулированное в 1956 году и обусловленное идеологическими причинами правило о написании со строчной буквы названий, связанных с религией, сейчас никто не соблюдает: по современным орфографическим нормам первое слово и собственные имена в названиях религиозных праздников пишутся с прописной.

См. также ответ на вопрос № 257105.

Согласно справочнику Д. Э. Розенталя, если подлежащее выражено составным наименованием, в котором имеется ведущее слово в форме именительного падежа, то сказуемое согласуется с ним. Однако если при этом образуются курьезные сочетания, следует использовать родовое наименование (книга).

Таким образом, вариант "Французские крестьяне в Средние века" охватывают период... корректен. Если Вы считаете это курьезным сочетанием, используйте слово книга.

Вы правы, именно поэтому название лучше склонять (как того и требует строгая литературная норма).

1. После того как слово входит в широкое употребление, оно перестает быть неологизмом. Подтвердить, что слово биометрия в указанном значении широко распространено, поможет Национальный корпус русского языка: по состоянию на 23.09.2024 в нём более 800 употреблений этого слова в XXI веке, среди них немало контекстов, где слово использовано в значении 'информация о физиологических и биологических параметрах человека, позволяющая установить его личность'. Следовательно, можно считать это слово освоенным.

2. Имя собственное может быть сказуемым, как в вашем примере. Сказуемое может не содержать оценку — например, когда оно выражено числительным: Семью пять — тридцать пять; Скорость антилопы — 50 км/ч.
Подробнее об этом вы можете прочитать в § 2325 «Русской грамматики» (1980 г.).

В этом случае сравнительный оборот тесно связан со сказуемым (смысл предложения не в том, что он танцует, а в том, как именно он танцует), а значит, запятую перед союзом как ставить не нужно.

Должно быть так: Пушкин сделал резкий шаг вперёд — навстречу разговорному языку-океану, и, входя в этот океан, он тем самым давал возможность...

В этом случае сравнительный оборот тесно связан со сказуемым и составляет смысловой центр предложения: смысл предложения не в том, что она умела произносить русский (звук) Н, а в том, как именно она его умела произносить.

Судя по всему, присоединительная конструкция грамматически связана связью управление с существительным протяженность (протяженность автомобильных дорог (межселенных); протяженность автомобильных дорог в границах населенных пунктов), а потому правилен будет второй вариант.