Правильно: Барак Обама. Обоснование см. здесь.
Скорее, все же "повышенный".
Вас интересует однотомник или многотомное издание? Если однотомник, то подойдет "Большой толковый словарь русского языка" под ред. С. А. Кузнецова или же "Толковый словарь русского языка" С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой. Если же многотомное издание - "Большой академический словарь" (сейчас находится в печати).
Следует писать строчными буквами: заместитель генерального директора.
С прописной: Московская область, Наро-Фоминский район.
Департамент – (от фр. departement) в ряде государств, в том числе и в России, отдел министерства или иного правительственного учреждения.
Правильно: Открытый кубок Москвы.
Возможен как склоняемый, так и несклоняемый вариант. Подробно см. в Письмовнике.
Идти по мосту – дательный падеж (по чему?).
Верны оба варианта.
