Корректно: ошибка закралась (во что — В. п.) в заявление; ошибка обнаружена (в чем — П. п.) в заявлении.

Действительно, однородный ряд уточняющих (по отношению к обстоятельству где-то очень далеко) обстоятельств здесь обособлен с помощью парных тире, для запятой перед вторым тире нет оснований.

В современной русской речи слово робот (в значении 'автоматическое устройство') склоняется по типу одушевленного и неодушевленного существительного. Варьирование падежных форм (в сочетании с переходными глаголами, в предложных конструкциях) остается приметной особенностью этого слова. Варьирование обусловлено рядом факторов: речевой практикой в той или иной сфере (например, в профессиональной, отраслевой среде, в художественной литературе), представлениями о том, какое именно автоматическое устройство обозначается этим термином, контекстными условиями.

Да, если отбросить версию Митрофанушки:

(К Правдину.) Любопытен бы я был послушать, чему
немец-то его выучил.
Г-жа Простакова. Всем наукам, батюшка.
Простаков. Всему, мой отец.
Митрофан. Всему, чему изволишь.
Правдин (Митрофану). Чему ж бы, например?
Митрофан (подает ему книгу). Вот, грамматике.
Правдин (взяв книгу). Вижу. Это грамматика. Что ж вы в ней знаете?
Митрофан. Много. Существительна да прилагательна...
Правдин. Дверь, например, какое имя: существительное или
прилагательное?
Митрофан. Дверь? Котора дверь?
Правдин. Котора дверь! Вот эта.
Митрофан. Эта? Прилагательна.
Правдин. Почему ж?
Митрофан. Потому что она приложена к своему месту. Вон у чулана шеста
неделя дверь стоит еще не навешена: так та покамест существительна.
di/text0020.shtml">http://az.lib.ru/f/fonwizindi/text0020.shtml

Да, почти всегда в 3-м лице. На это указывают и толковые словари. Однако изредка встречается и 2-е, и даже 1-е лицо, ср.: «Ты очень печальна, ты страдаешь!» — «Зубы болят…» — отвечала она. «Нет, не зубы — ты вся болишь; скажи мне… что у тебя?» (И. А. Гончаров, «Обрыв»); Горло-то не болит, да зато весь болю: слабость, нервность и сна нет (Н. А. Некрасов, из письма); Дуй, ветер! Сыпь, дождь пополам со снегом! Мокни, моя спина! Болите, мои руки!.. (Б. Ш. Окуджава, «Будь здоров, школяр»).

Нет, такого орфографического правила не существует (и не существовало). О буквосочетаниях -оро- / -оло- (также -ере-, -ело-) говорят применительно к истории языка: подобные сочетания – признак русских слов, в то время как сочетания -ра-, -ла-, -ре-, -ле- – признак старославянских слов, ср.: ворог – враг, город – град, золото – злато, голова – глава, болото – блато, берег – брег, шелом – шлем и т. п. (в лингвистике это наличие графической последовательности оро, оло, ере, ело в русских словах называется полногласием). В таких словах, действительно, пишется -оло-, -оро-, но это лишь закономерность, характерная для ограниченной группы слов и вызванная историческими процессами в языке.

Какое интересное предложение! Правильно так: Если у вас есть яблоко и у меня есть яблоко и если мы обмениваемся этими яблоками, то у вас и меня остаётся по одному яблоку, а если у вас есть идея и у меня есть идея и если мы обмениваемся идеями, то у каждого из нас будет по две идеи.

В этом предложении два структурно-смысловых блока, соединенных союзом а. Каждый блок начинается с трех однородных придаточных частей. Между однородными придаточными знаки препинания ставятся так же, как при однородных членах предложения. Две первые части тесно связаны по смыслу, третья присоединяется к ним, поэтому между придаточными запятые не нужны. Ср.: Жить да поживать да добра наживать. 

Между союзами а и если (6) запятая не нужна, так как в главном предложении есть вторая часть союза если... то.

Это вполне корректный, хотя и устаревший оборот речи. Вот цитаты из "Национального корпуса русского языка":

Мо́жет быть, в глубине́ души́ импера́тор да́же пожале́л заключённого Конаки и вполне́ удовлетвори́лся ссы́лкою в ка́торжные рабо́ты престу́пной ба́бы-кабатчицы. [Ю. Н. Тынянов. Малолетный Витушишников (1933)]

Съезд выбрал из своего состава самостоятельное правительство «Терский народный совет», под председательством некоего Пашковского, сосланного некогда в каторжные работы за ограбление казначея реального училища и возвращенного) в силу общей амнистии, данной Временным правительством. [А. И. Деникин. Очерки русской смуты. Том II. Борьба генерала Корнилова (1922)]

Да за мои мысли меня бы, может, уж в каторжные работы давно угнали! [И. С. Шмелев. Человек из ресторана (1911)]

Уважаемая Юлия, Вы напрасно обижаетесь и напрасно придаете политический смысл предлогам. Употребление предлога на никоим образом не нарушает суверенитета Украины, да и не может его нарушать. Да, Украина – независимое государство, и с названием этого государства согласно литературной норме, обусловленной историческим развитием русского языка, употребляется предлог на.

А что касается слова кофе – его допустимо употреблять как существительное среднего рода только в разговорной речи. Писать мы по-прежнему должны черный кофе, так опять же требует строгая литературная норма. Возможно, что со временем варианты черное кофе и в Украине станут литературной нормой, будут зафиксированы словарями и рекомендоваться как предпочтительные. Но для этого должно пройти время. Норма, подчеркиваем, – результат исторического развития языка.  Как писал выдающийся русский лингвист А. М. Пешковский, норма – это то, что было, и отчасти то, что есть, но отнюдь не то, что будет.

Запятая не ставится:

1) между двумя повторяющимися словами, из которых второе употреблено с отрицанием не, если сочетание этих слов образует единое смысловое целое, выражающее неполное отрицание или неопределенность в обозначении чего-либо: Страшно не страшно, а на душе как-то строго (Леск.); Дождь не дождь, а паши (Ш.); На нём надето что-то круглое: сюртук не сюртук, пальто не пальто, фрак не фрак, а что-то среднее (С.-Щ.); Рад не рад, корми его (П.); Попал в стаю, лай не лай, а хвостом виляй (Ч.); Маленький не маленький, а это знать не мешает;  Была не была — пойду;

2) при повторении слова с частицей так для усиления смысла: Пропаду так пропаду, всё равно! (Дост.); Свадьба так свадьба; я Огудалова, я нищенства не допущу (Остр.); Вот это была косьба так косьба! (См.); Да так да, нет так нет; Не надо так не надо.