Вам помогут электронные словари в рубрике "Проверка слова" на нашем портале.

Ваш вариант написания корректен.

Предлог по в значении 'после' требует предложного падежа: по выходе на работу. Сочетания такого типа  обычно употребляются в канцелярской речи, в документах.

Сочетание при выходе означает 'во время выхода', ср.: при выходе из поезда не забывайте свои вещи.

Рисунок можно назвать победителем, однако не вполне ясно, почему не объявляется победителем автор рисунка, упоминаемый в этом же предложении.

Согласно орфографическим нормам, с прописной буквы пишутся только названия высших государственных должностей, и то лишь в текстах официальных документах. Такие названия должностей, как министр, губернатор (и тем более генеральный директор, председатель комиссии, мэр), пишутся строчными.

Однако написания, принятые в современной официальной документации, зачастую противоречат орфографическим нормам. Такова ситуация и со словом министр. Написание этого слова с прописной рекомендовано, например, «Кратким справочником по оформлению актов Совета Федерации Федерального Собрания Российской Федерации». Поэтому, если речь идет об официальной документации (как в вопросе, на который Вы ссылаетесь), приходится давать соответствующие рекомендации.

Корректно: вейп. Не в начале корня после согласного буква э пишется лишь в очень немногих словах (рэп, мэр, мэтр, сэр, пэр и некоторых других). Это именно исключения, расширение списка слов с э не соответствовало бы закономерностям русской орфографии.

Что касается второго слова, здесь сложно дать однозначную рекомендацию, т. к. единого правила нет. Одни новые иноязычные заимствования закрепляются в слитном написании, другие – в дефисном. Надо подождать, пока слово освоится языком. Пока можно сказать, что сложные существительные с первой частью, самостоятельно употребляющейся, и второй, самостоятельно не употребляющейся, чаще пишутся слитно, хотя из этого правила есть много исключений. Поэтому предпочтительный вариант: боксмод.

Произносим твердо, а пишем букву е, а не э — такова закономерность русского письма. Ср.: партер, темп, термос, спрей, модель и др. Не в начале корня после согласных буква э пишется для передачи гласного э и одновременно для указания на твердость предшествующего согласного только в немногих нарицательных словах иноязычного происхождения. Раньше их было совсем мало (мэр, пэр, сэр), в последние годы список исключений расширился (ср.: сэндвич, фэнтези, фэншуй и др.). Но всё-таки языковеды пытаются максимально сдерживать этот процесс и подавляющее большинство новых заимствований кодифицируют в словарях в написании через е, например: бренд, тренд, лейбл, секонд-хенд, хештег и многие другие. 

По основному правилу первое тире не требуется, так как сказуемое выражено прилагательным. Второе тире ставится на месте пропущенного слова белки: Фибриллярные белки нитевидные, а глобулярные — шаровидные.

Первое тире допускается поставить как интонационное.

Запятая не ставится.

Следует склонять все слова, входящие в состав этого топонима: житель Северного Рейна – Вестфалии. Однако при наличии родового слова склонение не требуется: житель земли Северный Рейн –  Вестфалия.