См. «Словарь трудностей».
Корректен второй вариант. Подробнее см. в «Письмовнике».
Названия городов склоняются в сочетании со словом город: в городе Радужном.
Правильно: в городе Кемерово.
Вы правы, в глаголе понимать и в производном от него существительном понимание (именно это существительное входит в задание) корень с чередованием. См. соответствующую словарную статью в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».
Пост... – иноязычная приставка. После приставок иноязычного происхождения и не меняется на ы. А вот пред... – русская приставка, после нее пишется ы: предынтеллигенция. Ср. также: предынфарктный, но постинфарктный.
Предлог пишется так: в течение (всего лета, месяца, отпуска...).
Правильнее: в Москве (очевидно, что речь идет о городе).
