Верно:
1. После того как он попросил прощения, всё стало налаживаться.
2. История эта началась после того, как в село приехал новый учитель.
Подробно о пунктуации в конструкциях с составными подчинительными союзами читайте в "Справочнике по пунктуации".
Прозвища пишутся с большой буквы: Эдуард Святой (обычно прозвище стоит после имени), но святой Эдуард (о канонизированном церковью святом).
Представляется корректным другой вариант: ...все усилия для того, чтобы сделать ваше пребывание комфортным.
Сочетание добавить газу корректно. В нем используется особая форма родительного падежа с окончанием -у, имеющая количественное значение. В «Русской грамматике» 1980 г. отмечено, что употребление этой формы «постепенно идет на убыль», теперь в количественном значении часто используется обычная форма родительного падежа на -а: добавить газа.
Нормам современного русского языка такое употребление не соответствует.
Вы правы, для оформления цитаты как прямой речи здесь нет оснований. Оформить её как вставную конструкцию будет вполне уместно.
1. Современные словари указывают на книжную окраску слова "протестант" в этом значении. При общей высокой стилистике такое словоупотребление корректно.
2. Это дальнейшее (и вполне логичное) развитие следующего значения: "совокупность выразительных средств, раскрывающих тему, идею, мысль (фильма, направления в искусстве, школы). С. фильма. С. театральной постановки. С. абстракционизма".
В роли сказуемого выступает сочетание стали называться межевщиками или съемщиками.