Пунктуация верна, но грамматический строй предложения "хромает".
Можно не ставить дополнительных знаков. Или поставить двоеточие.
Во-первых, такого члена предложения не существует в природе. Во-вторых, вводные слова в принципе не являются членами предложения. Вводное слово может быть, например, общим для двух и более частей сложносочиненного предложения.
Не видим оснований для кавычек в этом случае.
Морфемный разбор слов с разделительными твердым и мягким знаками должен производиться с привлечением частичной транскрипции, так как эти знаки показывают, что стоящие после них буквы е, ё, ю, я нужно произносить как сочетание [j] и гласного звука: под-[jэ]зд ([j] входит в корень), бег-ун-[j]-а (-[j]- представляет собой словообразовательный суффикс). В иноязычных словах разделительный мягкий знак может стоять перед о: бул[j]он ([j] входит в корень).
Подробнее с правилами употребления разделительных твердого и мягкого знака можно ознакомиться на нашем портале в разделе «Правила от азов до тонкостей».
Понимание этих правил облегчит морфемный разбор с Ь и Ъ знаками на стыке морфем. Ь как показатель мягкости предшествующего согласного при морфемном разборе тоже может быть передан с помощью частичной транскрипции: сту[л’]-чик.
На начальных этапах знакомства с основами морфемного строения и фонетическими особенностями слов в школьной практике разделительный твердый знак часто относят к приставке, а Ь как показатель мягкости к предшествующей согласной (и внутри морфемы, и на стыке морфем). От этой практики желательно отказаться как можно раньше, так как отказ от использования частичной транскрипции при морфемном разборе формирует искаженное представление о структуре и произношении многих слов.
В приведенном примере правильно без мягкого знака (можно поставить вопрос что сделает?). В неопределенной форме глагола корректно с мягким знаком: что сделать? – встретиться (должна встретиться).
Выбор зависит только от наличия или отсутствия восклицательной интонации.
В Вашем вопросе две части. Постараемся ответить.
Пунктуация перед авторскими словами регулируется правилом препинания в цитатах. Знаки препинания речи.135.
1. Если прямая речь стоит перед вводящими ее словами автора, то после прямой речи ставится запятая и тире, а слова автора начинаются со строчной буквы: «Мы всё прекрасно понимаем, Николай Васильевич», — съязвил про себя Солодовников, присаживаясь на белую табуретку (Шукш.). Если после прямой речи стоит вопросительный, восклицательный знак или многоточие, то эти знаки сохраняются, а запятая не ставится; слова автора, как и в первом случае, начинаются со строчной буквы: «Да проститься же надо было!..» — понял он, когда крытая машина взбиралась уже на взвоз (Шукш.); «Голубоглазый мой ангел-хранитель, что ты смотришь на меня с такой грустной тревогой?» — хотел иронически сказать Крымов (Бонд.).
Если на месте разрыва оказывается восклицательный или вопросительный знак, то он сохраняется, далее следует тире перед словами автора (со строчной буквы), после этих слов ставится точка и тире; вторая часть прямой речи начинается с прописной буквы: «Даю ли я сейчас счастье многим людям, как это было ранее? — думал Кипренский. — Неужели только глупцы пытаются устроить благополучие своей жизни?» (Пауст.); «Да тихо! — приказал дежурный. — Можете вы помолчать?!» (Шукш.).
2. А вот точку в конце предложения (после кавычек) ставить нужно.
...Если перед закрывающей кавычкой стоит знак вопросительный, восклицательный или многоточие (и на этом предложение заканчивается), то те же знаки, необходимые по условиям всего предложения, не повторяются после закрывающей кавычки; неодинаковые знаки (перед кавычкой и после кавычки) ставятся; ср.: «Вы читали романы «Что делать?» и «Кто виноват?»; Кто не знает великолепных слов А. Блока: «Сотри случайные черты. И ты увидишь — мир прекрасен...»?; Неужели вы не прочитали роман «Что делать?»!
