Это просторечие или диалектизм.
Правильно с прописной буквы.
Корректно: на базе г. Биробиджана.
В нейтральном стиле слово город избыточно, поэтому лучше писать и говорить: командировки в Москву. Сочетание командировки в г. Москву соответствует нормам деловой речи.
Если это официальное название организации, то правильно: Центр досуга.
Оба варианта возможны, выбирайте тот, что точнее передает смысл.
Правильно: ученик Днепропетровска и ученик г. Днепропетровска. Географическое название, употребленное с родовым наименованием город, выступающее в функции приложения, согласуется с определяемым словом, то есть склоняется, если топоним русского, славянского происхождения или представляет собой давно заимствованное и освоенное наименование.
См. в «Письмовнике».
