Относящееся к одушевленным существительным числительное несколько в форме винительного падежа имеет две формы: несколько и нескольких. 

К сожалению, прямого указания на то, в каком падеже должны стоять однородные члены или элементы перечня, если им предшествует слово следующий, в справочниках не содержится. Есть только общая рекомендация, приведенная в «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой:

«При наличии в предложении обобщающего слова однородные члены должны согласоваться с ним в падеже. Положение это иногда нарушается, например: «Фактические данные приводятся в различных газетно-публицистических жанрах: статья, корреспонденция, очерк» (однородные члены следовало поставить в предложном падеже)».

Вместе с тем желание пишущих оставить однородные члены в именительном падеже понятно и объяснимо: слово следующий предупреждает о том, что дальше следует перечисление, а его элементы легче всего воспринимаются, если стоят в форме именительного падежа. Чем более распространены и независимы элементы перечисления (особенно если они вынесены в отдельные пункты перечня), тем более уместен именительный падеж. 

Дополнили ответ на вопрос № 204710, чтобы устранить противоречие в ответах.

Литературной норме отвечает следующее согласование:

Определение

а) необособленное определение ставится в форме мужского рода (даже при наличии в предложении собственного имени): Уже известный читателям автор Н. Петрова предложила новую статью.

б)  обособленное определение ставится в форме женского рода, если оно стоит после собственного имени: Автор Н. Петрова, уже известная читателям, предложила новую статью.

в) определение-причастие ставится в форме женского рода независимо от порядка слов: Предложившая новую статью автор Н. Петрова уже известна читателям. Автор Н. Петрова, предложившая новую статью, уже известна читателям.

Сказуемое

а) сказуемое в книжно-письменных стилях (особенно в строгой официально-деловой речи) ставится в форме мужского рода: 1) при отсутствии собственного имени; 2) если сказуемое предшествует сочетанию «рассматриваемое слово + собственное имя»: Диссертант изложил интересные наблюдения. Уже известный читателям автор предложил новую статью. Увлекательные заметки предложил редакции известный автор Н. Петрова.

б) сказуемое ставится в форме женского рода, если оно стоит после собственного имени: Автор Н. Петрова предложила редакции увлекательные заметки. Диссертант Иванова изложила интересные наблюдения.

в) сказуемое может быть поставлено в женском роде, если его форма является единственным показателем того, что речь идет о женщине, а пишущему важно это подчеркнуть: Автор – штурман авиационного женского полка ночных бомбардировщиков – посвятила свою повесть памяти боевых подруг.

Постановка определения или сказуемого в форме женского рода в условиях, не отвечающих перечисленным выше, свойственна разговорному стилю.

Вы правы, ряд существительных в именительном падеже слово, части речи, члены предложения и предложения нельзя считать рядом однородных членов с обобщающим словом категорий, поскольку это существительное стоит в форме родительного падежа. Конструкция может быть интерпретирована как бессоюзное сложное предложение с неполной второй частью: Синтаксис рассматривался учёным в его исторических изменениях на основе взаимосвязи главнейших грамматических категорий: [к ним относятся] слово, части речи, члены предложения и предложения.

При слове семья иноязычная фамилия обычно ставится в форме единственного числа: семья Фурдык.

Правильно: вы потратили тысячу пятьсот рублей на продукты. В составных количественных числительных склоняются все части, в данном случае все они должны стоять в форме винительного падежа. 

Правильно: врио начальника ОМВД Иванова, рассмотрев …. , установила.

В предложении «Вы сама понимаете, о чём говорите?» допущена ошибка.
Правильно: Вы сами понимаете, о чём говорите?

Сочетающиеся с вы глаголы и краткие формы прилагательных выступают в форме мн. ч., а существительные и полные формы прилагательных — ед. ч. 

Термин компетенции можно встретить на страницах юридического журнала «Советское право», издававшегося в 20-е годы прошлого века. И спустя десятилетия статьи научного издания «Советское государство и право» активно обсуждали компетенции верховных, исполнительных и местных органов власти. Слово компетенция многозначное, может употребляться в форме единственного (наиболее часто), а также множественного числа. Терминологическое употребление, допускающее форму множественного числа, в современном русском языке получило широкое распространение не только в сфере государственного управления, но и в сфере управления персоналом, в сфере образования. В толковых словарях русского языка, адресованных широкому кругу читателей, терминологические значения известных слов отмечаются далеко не всегда. Обычно в толковый словарь термин включается уже тогда, когда выходит за рамки профессионального употребления.

Переходный глагол предотвращать управляет зависимым словом в форме винительного падежа: предотвращать опасность, предотвратить негативные последствия, предотвратить аварию. Зависимое слово обозначает нечто нежелательное, угрожающее кому- или чему-либо. Эта грамматическая норма предопределяет истолкование словосочетания предотвращать лопату. Но едва ли автор собирался сообщать о том, что усиленная планка защищает лопату от лопаты же. Как можно полагать, речь идет о том, что усиленная планка предотвращает повреждение и износ лопаты.