Да, в данном контексте выражение "красные флаги" нужно заключать в кавычки, так как это выражение используется в переносном смысле.
Строго говоря, нормативным следовало бы признать вариант Вряд ли об этом думал молодой врач (см. правила). Но если из контекста неясно, что речь идет о женщине, а пишущему важно это подчеркнуть, то единственный способ (учитывая, что в предложении нет имени собственного) – написать Вряд ли об этом думала молодая врач.
"Справка" не выполняет домашних и тестовых заданий.
Ошибки в употреблении слова ребенок нет.
Тире не ставится (если между подлежащим и сказуемым-существительным стоит вводное слово, обстоятельство или дополнение, а также союз или частица).
Если логическое ударение на врач, никакие знаки препинания не нужны. Если логическое ударение на сделать прививки и не паниковать, можно оформить это предложение как содержащее прямую речь: «Сделать прививки и не паниковать», – посоветовал врач.
В этом случае верно: наблюдать пациента.
