Если косая черта соединяет два слова, то пробелы до и после черты не ставятся. Но в Вашем предложении косую черту нужно заменить на союз или. О функциях косой черты подробно написано в Полном академическом справочнике под ред. В. В. Лопатина.  

Вы правы, правило часто формулируется так, что под него нельзя подвести слова с двумя приставками типа подызносить. Однако академические правила (то есть наиболее полные, детальные) учитывают данные слова. См. Полный академический справочник под ред. В. В. Лопатина, § 12, п. 2.

Сочетание не спеша всегда нужно писать раздельно. В орфографических словарях, начиная со второй половины ХХ века, рекомендовалось только раздельное написание. В толковом словаре под ред. Д. Н. Ушакова (1935—1940) и в Большом академическом словаре (1948—1965) фиксируется сочетание не спеша.

Если вторая часть бессоюзной конструкции поясняет то, о чем говорится в первой части, необходимо поставить двоеточие, однако и тире не будет ошибкой (см. параграф 129 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина и примечание 2 к этому параграфу).

Действительно, сочетание в День России является пояснением по отношению к сочетанию 12 июня. Именно поэтому его нужно выделить запятыми, как указано в справочниках, например в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

Здесь деепричастие в составе определительной придаточной части имеет в качестве зависимого слова союзное слово который, а в таких случаях запятая после деепричастного оборота не нужна (см. пункт 4 параграфа 71 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина). 

Судя по всему, причастный оборот ранее согласованной в Компании относится к сочетанию безвозмездной отсрочки. Если это так, то запятые не нужны (см. пункт 2 параграфа 46 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина).

Обособление обстоятельства причины из самолюбия или из отчаянной отваги не обязательно, но возможно — «для попутного пояснения или смыслового выделения» (см. параграф 74 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина).

В словах, образованных от буквенных аббревиатур с помощью суффиксов, аббревиатурная основа записывается по названиям букв: бэтээр (от БТР), кагэбэшник (от КГБ), гэбист (от ГБ). См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006.

В «Толковом словаре русского языка» под ред. Д. Н. Ушакова (1935–1940) приводятся (в словарной статье хрящик) такие примеры: Одному нравится арбуз, другому свиной хрящик (Салтыков-Щедрин); У всякого свой вкус: кто любит дыню, а кто арбуз, а кто — свиной хрящик (посл.).