Слово Рождественский пишется с большой буквы, если начинает собой сочетания, связанные с Рождеством как христианским праздником, с церковным календарем (т. е. имеющие прямую связь с религией), например: Рождественская звезда (библ.), Рождественская ночь, Рождественский пост, Рождественский сочельник. Но ср. написание строчными в таких сочетаниях: рождественские морозы, рождественские каникулы.

Предпочтительно: сморит, но «Большой орфоэпический словарь русского языка» М. Л. Каленчук, Л. Л. Касаткина, Р. Ф. Касаткиной (М., 2012) допускает ударение сморит (как младшую норму). Тем не менее эту строчку трудно признать корректной, т. к. по-русски говорят сон сморил кого-либо и не говорят сон сморил чьи-либо глаза.

Глагол заценить не зафиксирован нормативными словарями современного русского языка, так что говорить о норме ударения в его формах не приходится. Однако приведем орфоэпические рекомендации по поводу глагола оценить:

Большой орфоэпический словарь русского языка

ОЦЕНИ́ТЬ, оценю́, оце́нит; оценённый; оценён, оценена́, оценено́, оценены́ (! неправ. оце́ненный...).

Нормативные толковые словари описывают существительное сушка как многозначное. 

 Большой толковый словарь русского языка

СУШКА, -и; мн. род. -шек, дат. -шкам; ж. 1. к Сушить (1-2 зн.). С. белья. С. льна. С. грибов. 2. Сухое хлебобулочное изделие в виде маленькой тонкой баранки. Сушки с маком. Ванильные, солёные сушки.

Орфографически правильное написание — Российский международный олимпийский университет. В составных названиях организаций с большой буквы пишется только первое слово (и имена собственные, входящие в название). 

Видимо, в документах придется писать в соответствии с уставом, но за пределами юридически значимого контекста стоит придерживаться написания по орфографическому правилу.

Орфографический словарь

Большой толковый словарь

Русское словесное ударение

Ошибки нет.

Большой толковый словарь

Согласно словарям русского языка (см., напр., «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова), мачеха – жена отца по отношению к его детям от предыдущего брака. Пасынок – неродной сын одного из супругов (приходящийся родным другому). Других компонентов (таких как «совместное проживание» и пр.) в значениях этих слов нет.

1. Порядок указания даты и места рождения (смерти) не определяется правилами русского языка. Но можно ориентироваться на авторитетные издания. Например, в Большой советской энциклопедии и в Краткой литературной энциклопедии принят такой способ: 26.V(6.VI).1799, Москва, — 29.I(10.II).1837, Петербург.

2. См. ответ на вопрос № 274318.

При обращении к одному человеку Вы пишется с большой буквы только в текстах определенных жанров (это личные письма и официальные документы) в тех случаях, когда пишущий хочет подчеркнуть уважительное отношение к адресату. Такое написание не является строго обязательным, ведь уже само обращение на вы – признак уважительного отношения к человеку.