В русском языке личные местоимения 3 лица единственного числа имеют родовую характеристику и предопределяют соответствующие формы рода сказуемых (глаголов в форме прошедшего времени, причастий, прилагательных). Вопрос о форме рода сказуемого не возникает, если оно выражено глаголом в форме настоящего и будущего времени: он или она выражает желание, говорит, уверяет... (обратите внимание на форму единственного числа глагола).

Правильно: ...из-за травм позвоночника. В «Справочнике по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой (М., 2010) указано: форма единственного числа употребляется в значении множественного при указании на то, что одинаковые предметы принадлежат каждому лицу или предмету из целой их группы, напр.: Солдаты стояли с опущенной головой; Ученики писали карандашом (не карандашами).

На наш взгляд, следует склонять: принято решение о допуске ИП Строганова А.М... В случае несклонения мы должны заключить фамилию и инициалы в кавычки: принято решение о допуске ИП «Строганов А.М.»...   (т. е. Строганов А. М. фактически будет условным названием организации, выступающим в сочетании с родовым словом ср.: ОАО «Газпром»), но вряд ли такое употребление кавычек оправданно.

Форма единственного числа корректна. В «Справочнике по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой (М., 2010) указано: форма единственного числа употребляется в значении множественного при указании на то, что одинаковые предметы принадлежат каждому лицу или предмету из целой их группы, напр.: Солдаты стояли с опущенной головой; Ученики писали карандашом (не карандашами).

В тематической литературе аббревиатура ЦУТР (ЦУТР барона Штиглица) употребляется преимущественно в несклоняемой форме. Вместе с тем встречаются и варианты в ЦУТРе, ЦУТРа. Родовую отнесенность аббревиатуры показывают редкие сочетания типа бывшее ЦУТР. Что касается приведенного ряда аббревиатурных обозначений, то при выборе формы следует учесть стилистическую характеристику текста,  грамматические особенности предложения, в том числе возможность / предпочтительность формальной однотипности компонентов.

Если слово набережная является родовым термином, оно пишется со строчной: Волжская набережная. Такое употребление представляется наиболее естественным для нейтральной устной и письменной речи.

Но если (в канцелярской речи) сочетанию предшествует номенклатурный термин улица (такое употребление характерно для систематизированных перечней географических объектов и текстов, использующих их данные), тогда набережная становится частью названия и пишется с прописной буквы: улица Волжская Набережная.

Названия мероприятий со словом неделя пишутся без кавычек, так как не выделяются кавычками собственные наименования, если они не имеют условного характера (например, Российский государственный гуманитарный университет, Московский театр кукол, Институт языкознания Российской академии наук). У слова неделя фиксируется значение 'семидневный промежуток времени, посвящённый чему-л., какому-л. событию'. Ср. с названиями, закрепленными в словаре. В сочетании названия (как несклоняемого приложения) с родовым словом кавычки уместны.

Да, логика верная: в названиях, состоящих из родового наименования и наименования, не сочетающегося с ним синтаксически, последнее заключается в кавычки и в нем пишутся с прописной буквы первое (или единственное) слово и собственные имена: арка «Темное королевство», арка «Черная Луна». Если переводить так, что синтаксическая несочетаемость уходит, то уходят и кавычки, сигнализирующие о такой несочетаемости: арка Черной Луны.

Правильно: до колик в животе. В «Справочнике по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой (М., 2010) указано: форма единственного числа употребляется в значении множественного при указании на то, что одинаковые предметы принадлежат каждому лицу или предмету из целой их группы, напр.: Солдаты стояли с опущенной головой; Ученики писали карандашом (не карандашами).