Думаем, можно просто сослаться на словарную рекомендацию - проверить слово в словарном порядке: не вовремя, но некстати.

1. Правильно: с первого по седьмой этаж. 2. Запятая факультативна. 3. Верно со строчной: администрация Краснодара.

Приложение — это компонент, главная функция которого состоит в дополнительной характеристике определяемого слова. Эта дополнительная характеристика может носить уточняющий характер, может служить указанием на особую важность предмета в каком-либо отношении (старейшая газета России в Вашем примере), может называть классифицирующий признак предмета (летопись в Вашем примере) и др. Поэтому ориентироваться разумнее не на различные попытки вывести правила разграничения приложений и определяемых слов, которые содержатся в различных пособиях, но не охватывают и не могут охватить всего разнообразия смысловых и прочих отношений в конструкциях с приложениями, а на этот главный признак: то, что служит дополнительной характеристикой, и является приложением.

Как Вы уже поняли, никаких реальных ограничений на то, чтобы главное слово было собственным наименованием в кавычках, не существует. Безусловно, бывает, что такое название как раз и служит приложением (кафе «Березка»), но из этого нельзя выводить никакого правила.

Когда имеется обособление, решать, конечно, проще: в обоих Ваших примерах обособленные компоненты и являются приложениями.
 

Деепричастный оборот не обособляется, если он оказывается в ряду однородных членов предложения, выраженных другими частями речи. Поэтому дополнительные знаки препинания в этом предложении не требуются, пунктуация верна.

Правильно только ногтевой. Это не неологизм: по крайней мере, в словаре Даля (а это конец XIX века) уже зафиксировано сочетание ногтевые ножницы (в старом написании: ногтевыя ножницы).

1. Можно писать Веб как отдельное слово, существительное: в Вебе, из Веба.

2. Это так. Но словарные рекомендации пока что не менялись. Нужно писать с большой буквы.

Пунктуация верна, однако в предложении есть противоречие: сочетание работа считалась указывает на мнение кого-то, кроме говорящего, поэтому вводное сочетание по крайней мере с моей точки зрения здесь неуместно. 

Грамматически верна форма пылесошу. Но из-за своей неблагозвучности она, как правило, избегается носителями языка, во многих словарях можно встретить соответствующие указания («нет», «затрудн.», «избегается», «несвободно» и т. п.).