Верно: один из первых в России частных университетов; Частный университет, один из первых в России...
С местоимением Вы слова согласуются во множественном числе. Вы написали верно.
Воспользуйтесь, пожалуйста, «Письмовником».
Корректна форма единственного числа.
Слова безулыбчивый и бестревожный существуют и зафиксированы в словарях.
Это синонимы ко всему фразеологическому выражению закинуть удочку, о синонимах к одному только слову закинуть (если мы имеем в виду идиому) говорить бессмысленно: для фразеологизма характерно целостное значение, неразложимость на части. Если же выражение закинуть удочку употребляется в прямом значении, подобрать синоним труда не составляет: забросить.
Корректный вариант: пескетарианец.
Такого слова нет. Можно сказать: уполномоченный по правам.
С двумя С.
Скорее всего, имеется в виду слово замухрышистый.
