Правилен второй вариант. Если авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение, то они начинаются с прописной буквы. Ср. с примером из справочника Д. Э. Розенталя  «Современный русский язык. Пунктуация» (М., 2002):

— Скорей, загорелась школа!  — И он побежал по домам будить людей.

Если части сложного предложения представляют собой неполные предложения с параллельной структурой, в них ставится тире. Поэтому верно с тире: Сначала — школа, потом — университет.

При этом в самостоятельно употребляемых предложениях с отсутствующим сказуемым, не восстанавливаемым из контекста, тире может ставиться или не ставиться в зависимости от интонации.

Большую букву в названии должности, профессии, звания и под. после слова имени или сокращения им. пишут только в географических названиях. Ср.: улица имени Академика В. Н. Челомея, улица имени Генерала А. П. Белобородова, но завод имени академика В. П. Филатова, школа № 627 имени генерала Д. Д. Лелюшенко.

Это сочетание пишется со строчной буквы, ср.: детский сад, школа, институт, издательство. Например: В поселке не было дома престарелых, но две школы и полтора детских садика были. Однако это сочетание может употребляться как индивидуальное название конкретного учреждения, например: Дом этот открыли после войны, назывался он при основании Дом престарелых.

Корректно:  Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 55» Петроградского района Санкт-Петербурга. Однако в уставе название школы может быть написано по-другому. В других документах название воспроизводят в юридически закрепленной форме.

Полагаем, что в грамоте можно опустить первую часть наименования: обучающиеся в средней общеобразовательной школе № 55 Петроградского района Санкт-Петербурга. 

Ошибки нет. Согласно «Грамматическому словарю русского языка» А. А. Зализняка, оракул в значении 'прорицатель'  – одушевленное существительное, т. е. винительный падеж совпадает с родительным: посетить оракула (прорицателя). В значениях же 'прорицание; храм, где оно дается; гадательная книга' оракул – неодушевленное существительное, т. е. винительный падеж совпадает с именительным: посетить оракул (храм, святилище).

Если мне кажется употребляется с последующим союзом что (как в примере из стихотворения Расула Гамзатова в переводе Н. Гребнева), то это главная часть сложноподчиненного предложения, а союз что открывает придаточную часть. Если же при мне кажется нет придаточной части с союзом что, как во втором вашем примере, то это вводное предложение.

Правило, которое Вы цитируете, никто не отменял. Но есть еще одно правило, связанное с оформлением прямой речи: если авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение (не содержат глагола речи), то они начинаются с прописной буквы:

— Скорей, загорелась школа! — И он побежал по домам будить людей.

Возможно, Вам встретился подобный вариант оформления?

В Орфографическом словаре на нашем портале отмечено лишь слово хедер (толкования в некоторых словарях такие: "еврейская начальная школа для обучения мальчиков основам иудаизма" и "от англ. header, жатвенный рабочий орган зерноуборочного комбайна"). Что касается названных Вами слов, то они пока что не получили словарной фиксации, поэтому написание неустоявшееся. Предпочтительно написание через Е: хедер, бекап.