Всегда верно: класть и положить.
Правильно: выложить. Слова выкласть не существует.
Устойчивое сочетание: отложить в долгий ящик.
Правило простое. Правильно: класть, кладу и положить, положу.
Лучше: изложить позицию; создана система поиска или работает система поиска.
Обычно используют выражения дать старт (чему-либо), но положить начало (чему-либо).
Правильно: положить в папку. Слова покласть нет в русском литературном языке.
Корень с чередованием -твар-/-твор- имеет компонент значения, связанный с идеей творения, создания, созидания (вытворить, вытворять, натворить, претворить, претворять, притворяться, растворение, растворимый, сотворение, сотворить, столпотворение, творение, творёный, творить), а также образованных от таких слов, где значение корня ощущается уже не так ясно (благотворительный, одухотворенный). Омонимичный корень -твор- выделяется в словах затворить, притворить, створка, раствор и словах, образованных от данных (проверяются словом затвор).
Корректно: телефон лежит в изголовье; положить в изголовье; склониться у изголовья больного.