Правильно: ...заключило.
Контракт и договор можно как заключить, так и подписать.
Литературная норма: договОр, договОры. Впрочем, некоторые словари уже признают допустимым (но только в непринужденной устной речи!) вариант дОговор, договорА.
При необходимости указать сокращенное наименование договора указывают в начале документа после полного наименования в скобках: (далее Договор).
Согласно словарю «Прописная или строчная?» (В. В. Лопатин, И. В. Нечаева, Л. К. Чельцова), Президент пишется с прописной (большой) буквы в значении 'глава государства' в текстах официальных документов, поэтому правильно: Договор, подписанный Президентом Российской Федерации и Президентом Французской Республики.
Верен второй вариант.
В значении "соглашение, договор с абонентом" - абонентское соглашение, абонентский договор. Подробно о словах абонентский и абонементный читайте в "Словаре трудностей" на нашем портале.
Как правило, сначала указывают дату.
Правильно: договор о чем-либо.
Предпочтительно: двусторонний договор.