Предпочтителен третий вариант.
Запятая перед связавшись не ставится на основании следующего правила: деепричастный оборот не обособляется, если он выступает в качестве однородного члена предложения с необособленным обстоятельством (в данном случае – с обстоятельством на сайте).
Фразы неудачны.
Дополнительных знаков препинания не требуется.
Пассионарий -- человек, обладающий большой внутренней энергией; темпераментный, активный человек (по «Большому толковому словарю русского языка» под ред. С. А. Кузнецова).
На наш взгляд, оборот объектов культуры федерального значения является приложением. Положение в конце предложения свойственно приложениям, которые обладают качественно-характеризующим значением и могут заключать в себе дополнительное сообщение о субъекте. Такие приложения соотносительны с самостоятельными предложениями: В Енисейске сохранилось множество старинных храмов и зданий; они являются объектами культуры федерального значения.
Знаки препинания расставлены верно.
При подчеркивании отрицания возможно раздельное написание.
Автор «Мифологического словаря» – корректно.
Действительно, такой оборот вносит интонацию непринужденной разговорной речи. Поэтому он не везде уместен: чтобы принять решение, нужно оценить стиль всего текста.
