Вне связи с контекстом предложение трудно оценить с точки зрения соответствия лексическим нормам русского языка. Прежде всего возникает вопрос логический: если речь идет о совпадающих днях, то есть ли резон указывать на ту же неделю и тот же месяц? Может быть, отредактировать предложение и выразить простую мысль иными словами? Если автору все же нравится такой ряд однородных членов предложения, то лучше всего повторить указательное местоимение тот (та).

Правильна форма ед. числа. Не встречается — безличная форма, которая образует безличное предложение, то есть предложение, в которое невозможно вставить подлежащее. В таком предложении слово, обозначающее субъект действия или состояния, может быть только дополнением в форме род. падежа. При личной форме не встречаются слово, обозначающее субъект действия, должно быть подлежащим, то есть иметь в форму им. падежа. Ср.: не встречается записей, но не встречаются записи. 

Здесь возможны варианты в зависимости от того, какой смысл хочет выразить автор. По существу может значить 'в сущности говоря' — в этом случае автор комментирует сочетание ничем не занимаясь, подчеркивая, что оно подходит для характеристики проведения времени в Париже; в таком употреблении это вводное сочетание. Но возможен и другой смысл: ничем по существу (не занимаясь) может значить 'ничем существенным (не занимаясь)'; в этом случае сочетание не вводное.

Если убрать союз что, предложение превращается бессоюзное сложное с изъяснительным значением (на это значение указывает глагол чувствовать, предупреждающий о последующем изложении какого-либо факта).

Между частями таких предложений ставится двоеточие, но необязательно. При глаголах, выражающих чувственное восприятие, возможна и постановка запятой — если пишущий не намерен выразить предупреждение: Слышу, с полей донеслась жалейка, ветер дыханье полей принес.

Поэтому верны оба варианта: и с двоеточием, и с запятой.

Судя по практике письма и примерам из справочников, решающий фактор необособления сравнительного оборота состоит в том, что без него сказуемое не может выразить нужный смысл, действительно как в случае 1. Смысловая значимость какого бы то ни было оборота подчеркивается порядком слов: оборот находится в ударной позиции, то есть после сказуемого и в конце предложения (или в конце части сложного предложения); в случае 4 такого не наблюдается.

Запятая нужна. Правильнее руководствоваться таким критерием: запятая на стыке союзов ставится, если придаточную часть можно изъять из текста или переставить в другое место сложноподчиненного предложения. Здесь перестановка вполне возможна: Собака сначала всё время бежала впереди охотника, но шаги её, как только она почувствовала дичь, замедлились и стали крадущимися. Собака сначала всё время бежала впереди охотника, но шаги её замедлились и стали крадущимися, как только она почувствовала дичь.

Вы затронули очень серьезную проблему. Сейчас после большого перерыва возобновляется взаимодействие ученых, занимающихся кодификацией русской орфографии, и методистов. Но происходит это, к сожалению, не так быстро, как хотелось бы. Кодификаторы ведут постоянную работу – пополняют орфографический словарь новыми словами, ищут новые, более точные, непротиворечивые формулировки правил, изучают области письма, неудовлетворительно описанные в существующих справочниках, уточняют списки исключений, разрабатывают электронные орфографические ресурсы. В очень редких случаях, только когда вынуждает к этому орфографическая система русского языка, они меняют рекомендации. Новые сведения в школу проникают с большой задержкой. Иногда, приходится признать, это происходит из-за неосведомленности школы и методистов об орфографической работе, которая ведется учеными. 

Теперь обратимся к слову заревать. В середине ХХ в., когда формировался орфографический минимум для школы, это слово не было включено в правила и учебники, адресованные детям и учителям. Вероятнее всего, причина в том, что это слово крайне редкое. В основном подкорпусе «Национального корпуса русского языка» сейчас находится лишь три документа с вариантом заревать, и восемь с вариантом зоревать. В большинстве толковых словарей, в том числе в «Большом академическом словаре русского языка», который начал издаваться в 2004 г., ни в одном из вариантов написания глагол не фиксируется. 

Учить писать в школе нужно в соответствии с современной нормой. При расхождении рекомендаций в учебнике и современном академическом орфографическом словаре стоит объяснять, что языковые нормы, в том числе орфографические, в живом языке могут меняться. Не подвержены никаким изменениям только мертвые языки. Вариант зоревать является устаревшим. 

Специалисты, составляющие задания для ЕГЭ, осведомлены о многих проблемах современной орфографии и стараются проблемные слова типа заревать в материалы не включать. 

Можно обойтись без глагола: Каковы нравы в этой семье?

Ваши рассуждения верны: определения прекрасные и заповедные действительно характеризуют место с разных сторон: красота и труднодоступность. Они не являются однородными и не разделяются запятой. Но запятую всё-таки можно поставить — если рассматривать заповедные как пояснительное определение к слову прекрасные (прекрасные, а именно заповедные, т. е. красота мест обусловлена их нетронутостью). Такое пунктуационное оформление предполагает и соответствующую интонацию.