Если речь идет о враче, который специализируется и в дерматологии, и в косметологии, то Ваш вариант корректен. Но чтобы избежать недопонимания, лучше изменить формулировку, например так: врач – специалист по дерматологии и косметологии или врач – дерматолог-косметолог.

Ударение остается на корне: нет ротанов. Определить это можно только по словарю: в русском языке ударение свободное, подвижное и в одних словах может оставаться на основе при склонении слова, а в других – переходить на окончание.

В окончаниях имен существительных под ударением после шипящих пишется о. Таким образом, возможны варианты: Прищо́м (ударение на окончании) и При́щем (ударение на корне). Переносится ли ударение на окончание при склонении, решает носитель фамилии.

Согласно «Морфемно-орфографическому словарю русского языка» А. Н. Тихонова, в слове пропускной про- – приставка. Но безударные гласные можно проверять ударением в любой морфеме, не только в корне. Проверочное слово – пропуск (где та же приставка про- под ударением).

Вы имеете в виду написание о? Здесь о под ударением, никакую другую букву мы и не можем написать. Правило, гласящее, что в этом корне с чередованием перед щ всегда а, регулирует написание на месте безударного гласного.

Нет, правильно только на весу. В корне этого слова происходит чередование гласных: под ударением и в безударной позиции пишутся и буква е (вешать, вывесить), и буква и (виснуть, висюлька). Правило можно посмотреть здесь (см. правило 2).

В зависимости от смысла, который вкладывает в свой текст автор, возможны варианты. Например: "Ни свет и ни тьма не служили ему препятствием"; "Это были не свет и не тьма, а нечто вроде сумерек". 

Выбор буквы зависит от места ударения в слове. Правило таково: в слове с ударением на окончании пишется суффикс -инств- (большинство́, старшинство́, меньшинство́), в слове с ударением на корне пишется суффикс -енств- (пе́рвенство, ни́щенство). Исключение: се́́стринство.

Нет. Паронимы – это слова, очень близкие по звучанию, но разные по значению или частично совпадающие в своем значении (например: кров и кровь, надеть и одеть, оплатить и уплатить). Конструкции несу мел и не сумел можно назвать фонетически омонимичными.