Управление вдохновляться на что-л. вполне допустимо.
Корректно: путешествие на каяке́.
Частица тоже свидетельствует о том, что союз и в данном случае вводит присоединительную конструкцию (см. параграф 84 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина), перед которой нужна запятая: Это не было похоже на деловую встречу, и на встречу родственников тоже.
Правильно: в магазин.
Строгой литературной норме соответствует второй вариант. Подробнее см. в разделе «Азбучные истины».
Правильно: состоит на вооружении.
Оба варианта возможны.
Верно с предлогом СО.
Обособление возможно для логического выделения оборота. Подробнее об обособлении оборотов с непервообразными предлогами см. в «Справочнике по пунктуации».
Возможны оба варианта, но в документах чаще используется более официальное в этом значении слово исполнение.
