Форма слова Химмаш зависит от того, что этим словом названо. Официальное наименование района не склоняется, например: из района Химмаш, в районе Химмаш. Разговорное наименование завода в сочетании со словом район должно стоять в форме род. падежа, например: встретились в районе Химмаша (=около Химмаша). 

Верно: когда выбор в установленном порядке и установленные сроки должник не сделал; в порядке и сроки, которые были установлены законодательством. Причастие должно согласоваться в падеже с определяемым словом. Поскольку определяемые слова стоят в разных падежах, причастие приходится либо повторять, либо заменять придаточным предложением.

В заголовочных фразах типа Месяц март название месяца должно быть написано со строчной буквы. Однако в дневниках бывает и так, что слово месяц следует за названием месяца. В этих случаях корректно название месяца писать с прописной буквы, а слово месяц со строчной.

Души не чаять в ком-нибудь – значение фразеологизма появилось, очевидно, в результате смешения глаголов чуять (= чувствовать) и чаять (= надеяться, полагать, думать). Частица не в этом обороте имеет усилительное значение, т. е. души не чаять (= не чувствовать) в ком-либо – 'очень сильно любить кого-то, чью-то душу'.

Правильно: затрапе́зный. В Метасловаре ошибка, обязательно исправим.

Если это фамилия, то ударение может падать на любой слог,  это определяет носитель фамилии (или автор текста, если речь идет о персонаже). Но, конечно, в рамках одного произведения ударение в фамилии меняться не должно :)

Правильно: Я ухватился одной рукой за выбоину в стене, другой упёрся в дверную ручку и, подтянувшись, сунул ноги в дыру; обеспозвоноченный страхом, я некоторое время висел в воздухе, сильно изогнувшись, и, наконец нащупав пол, втащил в помещение и верхнюю часть своего туловища.

Правило выбора падежа просто: прямое дополнение ставится в форму винительного падежа при отсутствии отрицания (...что делает каждый), а в случае, если при глаголе, управляющем прямым дополнением, имеется отрицание, винительный падеж заменяется родительным. Именно так и сделано в предложении, которое фигурирует в вопросе.

Правильно: нефрологическое отделение для детей Климовской городской больницы № 1 (но с родовым словом: нефрологическое отделение для детей МБЛПУ «Климовская городская больница № 1»).

Владимирская – первое слово официального названия организации? Если да, то оно должно быть написано с прописной: Владимирская областная общественная организация «Ассоциация родителей детей-инвалидов "Свет"».

Эти аббревиатуры могут использоваться в тексте при условии их предварительной расшифровки, если они не будут затруднять восприятие текста читателем. При этом употребление аббревиатуры должно быть обоснованным (например, уместно ее использовать в случае ее частого повторения, целесообразности экономии места на печатном листе и т. д.).